第3章 导数与微分 .doc

PAGE 23 - 第3章 导数与微分 在科技经济和实际生活中，经常遇到两类问题：一是求函数相对于自变量的变化率；二是当自变量发生微小变化时，求函数改变量的近似值. 前者是导数的问题，后者是微分的问题. 数学中研究导数、微分及其应用的部分称为微分学，研究不定积分、定积分及其应用的部分称为积分学. 微分学与积分学统称为微积分学. 微积分学是高等数学最基本、最重要的组成部分，是现代数学许多分支的基础. 本章以极限为基础，引进导数与微分的定义，建立导数与微分的计算方法. §3.1 导数概念 3.1.1 引入导数概念的三个实例 切线问题 图3-1如图3-1，给定平面曲线,设点是C上的一点，求过点的切线. 图3-1 在C上取一点，当趋近于时，割线所趋近的确定位置即为切线.由于割线的斜率为 . 当趋近于时，即，则切线的斜率就是极限 (3-1) 故切线的方程为 . 当时，的方程为，即此时的切线是竖直切线. 速度问题 我们乘坐汽车在高速公路上感到很舒适时，汽车一般是以100km/h的匀速前进，而当汽车需要经过收费站时，就必须减速了，而在减速的过程中汽车的速度处于慢慢从高速到低速最后速度为0. 这个过程每一时刻汽车的速度都不相同，如何求某时刻汽车的瞬时速度呢？ 设汽车所经过的路程s是时间t的函数：，任取接近于的时刻，则汽车在这段时间内所经过的路程为 而汽车在这段时间内的平均速度为 . 显然，越小，平均速度就与时刻的瞬时速度越接近. 因此，当时，平均速度的极限值称为时刻的瞬时速度，即 (3-2) 产品总成本的变化率 设某产品的总成本C是产量q的函数：，若产量由变为，则总成本相应的改变量为 总成本的平均变化率为 . 当时，若极限 (3-3) 存在，则称此极限是产量时的产品总成本的变化率. 以上三个实例背景虽然不同，但从所得到的三个式子(3-1)、(3-2) 和(3-3)可见，其实质都是一个特定的极限：当自变量的改变量趋于零时，函数改变量与自变量之比的极限. 这个特定的极限就称为导数. 3.1.2 导数的定义 定义1　设函数在点的某邻域内有定义，当自变量在点处取得改变量()时，函数取得相应的改变量 若极限 (3-4) 存在，则称函数在点可导，并称此极限值为函数在点的导数，记为 ，，或. 注：定义1中，分别称为，的改变量或增量，可正可负. 是函数在以和为端点的区间上的“平均变化率”，而导数则是函数在点处的变化率，它反映了函数随自变量变化而变化的快慢程度. 函数在点可导有时也称为函数在点具有导数或导数存在，点称为可导点；如果极限式(3-4)不存在，则称函数在点不可导，此时点称为不可导点. 导数的定义式(3-4)也可采取不同的形式，如令，则式(3-4)改写为 (3-5) 如令，则有 (3-6) 注：式(3-4) 、(3-5)、 (3-6)都可作为导数的计算式，需要视实际而选用. 例1 求函数在处的导数. 解 当由1变到时，函数相应的增量为 所以 例1是用了式(3-4)求导数，读者可分别试用式(3-5)和式(3-6)求此导数，将会感到方便一些. 例2 讨论函数在处的导数是否存在. 解 故函数在处不可导. 注：为方便起见，允许导数，此时不能说在点可导!恰恰相反，此时在点的导数不存在! 例3 讨论在处的连续性与可导性. 解 是有界函数, 在处的连续. 但在处有 由于时，在和之间振荡，故该极限不存在. 因此，在处不可导. 注：由例3表明，函数在其连续点不一定可导.但由以下定理可知：函数在其可导点处一定连续， 定理1 如果函数在点处可导，则在处连续. 证 令，则 ， 故在处连续. 3.1.3 左导数和右导数 由于函数在点的导数是否存在，取决于极限 是否存在，而极限存在的充分必要条件是左、右极限都存在且相等，因此，导数存在的充分必要条件是下列的左、右极限 和 都存在且相等. 这两个极限分别称为函数在点的左导数和右导数，分别记作和. 定理2 函数在点处可导的充分必要条件是：函数在点的左导数和右导数都存在且相等. 注：定理2常用于讨论分段函数在分段点的导数. 例4 问函数在处是否可导？如可导，求其导数. 解 考察处的左、右导数 = = 所以，函数在处的可导，且. 例5 讨论函数在处的可导性. 解 考察处的左、右导数 由于，因此在处不可导. 读者可画出该函数的图象，通过分析，可以发现曲线在点处出现“尖点”的现象. 如果函数在某点可导，则其图形必定在该点处于“光滑”状态. 3.1.4 函数的导数 以上讨论的是函数在某点的导数，如果函数在开区间每点均可导，则称函数