【数学】三湘名校教育联盟2020届高三第二次大联考试题（文）（解析版）.docx

三湘名校教育联盟2020届高三第二次大联考 数学试题（文） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知全集，集合，（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由，解得，所以，所以. 故选：A. 2.已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】依题意，所以，对应点为，在第二象限.故选：B 3.已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】依题意，. 故选：A. 4.若椭圆：一个焦点坐标为，则的长轴长为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】由于方程为椭圆，且焦点在轴上，所以，解得，所以，长轴长为. 故选：D. 5.已知是两个不同平面，直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由题意，若∥，则∥， 根据面面平行的性质，∥是∥的充分条件； 若∥，根据面面平行的判定定理不能推出∥，故不是充分条件； ∴∥是∥的充分不必要条件， 故选：A． 6.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升(注：一斗为十升).问，米几何？”下图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S=15(单位：升)，则输入的k的值为（ ） ? A. 45 B. 60 C. 75 D. 100 【答案】B 【解析】由题意，． 故选：B. 7.已知等差数列满足，，则数列的前10项的和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】依题意等差数列满足，，所以，所以，所以.所以数列的前10项的和为. 故选：D. 8.以下是人数相同的四个班级某次考试成绩的频率分布直方图，其中方差最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】方差表示数据波动性的大小、稳定程度.由频率分布直方图可知：数据越靠近均值，方差越小，所以方差最小的是B选项. 故选：B. 9.设函数的导函数为，若是奇函数，则曲线在点处切线的斜率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】依题意，由于是奇函数，所以，解得，所以，所以. 故选：D. 10.已知函数，有下列四个结论： ①是偶函数 ②是周期函数 ③在上是增函数 ④在上恰有两个零点 其中所有正确结论的编号有（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】C 【解析】由于，所以为偶函数，故①正确. 由于，所以是周期为的周期函数，故②正确. 当时，，所以，且，所以在上先减后增，③错误. 当时，令，得，所以，且，所以有两个零点，所以④正确. 综上所述，正确结论的编号有①②④. 故选：C. 11.定义在上的奇函数满足，若，，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】由已知为奇函数，得， 而， 所以， 所以，即的周期为. 由于，，， 所以， ， ， . 所以， 又， 所以. 故选：C. 12.正三棱柱的所有定点均在表面积为的球的球面上，，则到平面的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】设等边三角形的外接圆半径为，由正弦定理得. 由于球表面积为，故半径，所以侧棱长.在三角形中，，而，所以三角形的面积为. 设到平面的距离为，由得，解得. 故选：B 二、填空题（每题5分，满分20分） 13.已知，满足约束条件，则的最小值为______． 【答案】2 【解析】画出可行域如下图所示，由图可知平移基准直线到处时，取得最小值为. 故答案为： 14.已知向量，，则向量与的夹角为______． 【答案】 【解析】由于，所以，所以向量与的夹角为. 故答案为： 15.已知为数列的前项和，，则______． 【答案】 【解析】由于，当时.当时，两式相减得.所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以. 故答案为：. 16.已知、分别为双曲线：（，）的左、右焦点，过的直线交于、两点，为坐标原点，若，，则的离心率为_____． 【答案】 【解析】取的中点，连接，由于，所以，而，所以，是三角形的中位线.，设，则由双曲线的定义可得，所以，，所以，在三角形中，由勾股定理可得，化简得，所以. 故答案为： 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. 17.如图，长方体中，是的中点，是的中点. （1）证明