专题40 平行四边形【发现探究】题型（试题解析）.docxVIP

专题40 平行四边形【发现探究】题型 一、典例解析 例1.【2020·浙江宁波】 【基础巩固】 （1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD=∠B. 求证：AC2=AD·AB. 【尝试应用】 （2）如图2，在平行四边形ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE=∠A. 若BF=4，BE=3，求AD的长. 【拓展提高】 如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC=2EF，∠EDF=∠BAD，AE=2，DF=5，求菱形ABCD的边长. 图1 图2 图3 【答案】见解析. 【解析】解：（1）∵∠ACD=∠B，∠A=∠A ∴△ADC∽△ACB ∴ ∴AC2=AD·AB. （2）∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD=BC，∠A=∠C， ∵∠BFE=∠A， ∴∠BFE=∠C ∵∠FBE=∠CBF ∴△BFE∽△BCF ∴BF2=BE·BC ∴BC= ∴AD=. （3）延长EF、DC交于点G， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥DC，∠BAD=∠BAC ∵AC∥EF ∴四边形AEGC是平行四边形 ∴AC=EG，CG=AE, ∠EAC=∠G， ∵∠EDF=∠BAD， ∴∠EDF=∠BAC， 又∠DEF=∠GED ∴△EDF∽△EGD ∴DE2=EF·EG ∵EG=AC=2EF ∴DE2=2EF2 即DE=EF 由, 得：DG=DF=5 ∴DC=DG-CG=5-2. 例2.【2020·浙江嘉兴】在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合（如图1），其中∠ACB=∠DFE=90°，BC=EF=3cm，AC=DF=4cm，并进行如下研究活动． 活动一：将图1中的纸片DEF沿AC方向平移，连结AE，BD（如图2），当点F与点C重合时停止平移． 【思考】图2中的四边形ABDE是平行四边形吗？请说明理由. 【发现】当纸片DEF平移到某一位置时，小兵发现四边形ABDE为矩形（如图3）.求AF的长. 活动二：在图3中，取AD的中点O，再将纸片DEF绕点O顺时针方向旋转α度（0≤α≤90），连结OB，OE（如图4）. 【探究】当EF平分∠AEO时，探究OF与BD的数量关系，并说明理由. 图1 图2 图3 图4 【答案】见解析. 【解析】解： 【思考】 四边形ABDE是平行四边形. 证明：∵△ABC≌△DEF， ∴AB=DE，∠BAC=∠EDF， ∴AB//DE. ∴四边形ABDE是平行四边形. 【发现】连接BE交AD于点O， ∵四边形ABDE为矩形， ∴OA=OD=OB=OE 设AF=x(cm)，则OA=OE=， ∴OF=OA－AF= 在Rt△OFE中， 根据勾股定理得：（）2+32=（）2， 解得：x=， ∴AF= cm. 【探究】BD=2OF. 证明：延长OF交AE于点H. 由矩形性质可得∠OAB=∠OBA=∠ODE=∠OED，OA=OB=OE=OD， ∴∠OBD=∠ODB，∠OAE=∠OEA. ∵∠ABD＋∠BDE＋∠DEA＋∠EAB=360o， ∴∠ABD＋∠BAE=180o， ∴AE∥BD， ∴∠OHE=∠ODB. ∵EF平分∠OEH， ∴∠OEF=∠HEF. ∵∠EFO=∠EFH=90o，EF=EF， ∴△EFO≌△EFH， ∴EO=EH，FO=FH， ∴∠EHO=∠EOH=∠OBD=∠ODB， ∴△EOH≌△OBD， ∴BD=OH=2OF. 例3.【2020·安徽】如图1，已知四边形ABCD是矩形，点E是BA的延长线上一点，AE=AD，EC与BD交于点G，与AD交于点F，AF=AB. （1）求证：BD⊥EC； （2）若AB=1，求AE的长； （3）如图2，连接AG，求证：EG－DG=AG. 图1 图2 【答案】见解析. 【解析】解：（1）证明： ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB=∠EAF=90° ∵AE=AD, AF=AB ∴△DAB≌△EAF ∴∠E=∠ADB ∵∠E+∠EFA=90°，∠EFA=∠DFG ∴∠ADB+∠DFG=90° 即BD⊥EC. （2）设AE=AD=x，则DF=x－1， ∵CD∥AE ∴ 即 ， 解得：x=或x=（舍） 即AE=. （3）在CE上截取EH=DG 由（1）知∠E=∠ADG，AE=AD， ∴△ADG≌△AEH ∴AH=AG，∠E