专题46 古典数学典籍中的问题(试题解析）.docxVIP

专题46 古典数学典籍中的问题 中国以及世界各地古代的许多数学家曾经写下了不少著名的数学著作. 许多具有世界意义的成就正是因为有了这些古算书而得以流传下来. 这些古代数学名著是了解古代数学成就的丰富宝库. 诸如《几何原本》、《算术研究》、《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《五曹算经》、《孙子算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》、《五经算术》、《缉古算经》、《缀术》…… 另外，七巧板是我国祖先的一项卓越创造，流行于世界各地. 其中的数学图形与计算也广为流传. 一、典例解析 例1. 【2020·四川内江】我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺．则符合题意的方程是（　　） A．12x＝（x﹣5）﹣5 B．12x＝（x+5） C．2x＝（x﹣5）﹣5 D．2x＝（x+5）+5 【答案】A. 【解析】解：设绳索长x尺，则竿长（x﹣5）尺， 依题意，得：12x＝（x﹣5）﹣5 故答案为：A． 例2. 【2020·江苏连云港】筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋）中写道：“水能利物，轮乃曲成”．如图，半径为的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车与水面分别交于点、，筒车的轴心距离水面的高度长为，筒车上均匀分布着若干个盛水筒．若以某个盛水筒刚浮出水面时开始计算时间． （1）经过多长时间，盛水筒首次到达最高点？ （2）浮出水面3.4秒后，盛水筒距离水面多高？ （3）若接水槽所在直线是的切线，且与直线交于点，．求盛水筒从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线上． （参考数据：，， 【答案】见解析. 【解析】解：（1）连接． 由题意，筒车每秒旋转， 在中，． ， （秒． 答：经过27.4秒时间，盛水筒首次到达最高点． （2）盛水筒浮出水面3.4秒后，此时， ， 过点作于， 在中，， ， 答：浮出水面3.4秒后，盛水筒P距离水面1.7m． （3） 点在上，且与相切， 当点在上时，此时点是切点，连接，则， 在中，， ， 在中，， ， ， 需要的时间为（秒 例3. 【2020·浙江湖州】七巧板是我国祖先的一项卓越创造，流行于世界各地. 由边长为2的正方形可以制作一副中国七巧板或一副日本七巧板，如图1所示，分别用这两副七巧板试拼成如图2中的平行四边形或矩形，则这两个图形中，中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数分别是（ ） A. 1和1 B.1和2 C. 2和1 D. 2和2 图1 图2 【答案】D. 【解析】解： 故答案为2、2，选D. 例4. 【2020·上海】《九章算术》中记载了一种测量井深的方法，如图所示，在井口B 处立一根垂直于井口的木杆BD ，从木杆的顶端D 观察井水水岸C ，视线DC 与井口的直径AB交于点E ，如果测得AB=1.6 米，BD=1米，BE =0.2米，那么井深AC 为 米. 【答案】7. 【解析】解：由题意知AE=AB-BE=1.4米 由AC∥BD知， , , 解得：AC=7， 故答案为：7. 例5.【2020·四川达州】中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”. 如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是（ ） A. 10 B. 89 C. 165 D. 294 【答案】D. 【解析】解：该数五进制中为2134，换算成十进制为： 2×53+1×52+3×5+4=294 故答案为：D. 例6.【2020·河南】我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具——三分角器．图1是它的示意图，其中与半圆的直径在同一直线上，且的长度与半圆的半径相等；与垂直于点，足够长． 使用方法如图2所示，若要把三等分，只需适当放置三分角器，使经过的顶点，点落在边上，半圆与另一边恰好相切，切点为，则，就把三等分了． 为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程． 已知：如图2，点，，，在同一直线上，，垂足为点，　 于　 ． 求证：　 　． 【答案】见解析. 【解析】解：已知：如图2，点，，，在同一直线上，，垂足为点，，切半圆于． 求证：，就把三等分， 证明：∵EB⊥AC， ∴∠ABE=∠OBE=90°， ∵AB=OB，BE=BE ∴△ABE≌△OBE ∴∠1