专题42 旋转变换综合题（试题解析）.docx

专题42 旋转变换综合问题探究 一、典例解析 例1.【2020·河南】将正方形的边绕点逆时针旋转至，记旋转角为，连接，过点作垂直于直线，垂足为点，连接，． （1）如图1，当时，的形状为　 　，连接，可求出的值为　 　； （2）当且时， ①（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图2的情形进行证明；如果不成立，请说明理由； ②当以点，，，为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出的值． 【答案】见解析. 【解析】解：（1）由旋转性质得：，， ∴是等边三角形， ∴∠BB’A=60° ∴∠DAB’=∠BAD-∠BAB’=30° ∵AB’=AB=AD ∴∠AB’D=∠ADB’ ∴∠AB’D=75°， ∴∠DB’E=45° ∵DE⊥B’E ∴∠B’DE=45° 即△DEB’是等腰直角三角形 ∵四边形ABCD是正方形 ∴∠BDC=45° ∴BD=CD 同理，， ∴， ∵∠BDB’+∠B’DC=∠EDC+∠B’DC=45°， ∴∠BDB’=∠EDC ∴△BDB’∽△CDE ∴ 故答案为：等腰直角三角形，． （2）①两结论仍然成立． 证明：连接， ∵AB=AB’，∠BAB’=α ∴∠AB’B=90°- ∵∠B’AD=α－90°，AD=AB’ ∴∠AB’D=135－ ∴∠EB’D=∠AB’D-∠AB’B=45° ∵DE⊥BB’ ∴∠EDB’=∠EB’D=45° ∴△DEB’是等腰直角三角形 ∴ ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴∠EDB’+∠EDB=∠BDC+∠EDB 即∠B’DB=∠EDC ∴△B’DB∽△EDC ∴ ②或1． 若为平行四边形的对角线， 点在以为圆心，为半径的圆上，取的中点．连接交于点， 过点作交的延长线于点， 由（1）可知△是等腰直角三角形，B’D=B’E 由（2）①可知，且． ． 若为平行四边形的一边，如图， 点E与点A重合， ． 综上所述，或1． 例2. 【2020·山东潍坊】如图1，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC=2+1，点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE＝1，连接DE．现将△ADE绕点A顺时针方向旋转，旋转角为α（0°＜α＜360°），如图2，连接CE，BD， （1）当0°＜α＜180°时，求证：CE＝BD； （2）如图3，当α＝90°时，延长CE交BD于点F，求证：CF垂直平分BD； （3）在旋转过程中，求△BCD的面积的最大值，并写出此时旋转角α的度数． 【答案】见解析. 【解析】解：（1）证明：如图2中，根据题意：AB＝AC，AD＝AE，∠CAB＝∠EAD＝90°， ∵∠CAE+∠BAE＝∠BAD+∠BAE＝90°， ∴∠CAE＝∠BAD， 在△ACE和△ABD中， AC= ∴△ACE≌△ABD（SAS）， ∴CE＝BD； （2）证明：如图3中，根据题意：AB＝AC，AD＝AE，∠CAB＝∠EAD＝90°， 在△ACE和△ABD中， AC= ∴△ACE≌△ABD（SAS）， ∴∠ACE＝∠ABD， ∵∠ACE+∠AEC＝90°，且∠AEC＝∠FEB， ∴∠ABD+∠FEB＝90°， ∴∠EFB＝90°， ∴CF⊥BD， ∵AB＝AC=2+1，AD＝AE＝1，∠CAB＝∠EAD＝ ∴BC=2AB=2+2，CD＝AC+ ∴BC＝CD， ∵CF⊥BD， ∴CF是线段BD的垂直平分线； （3）解：△BCD中，边BC的长是定值，则BC边上的高取最大值时△BCD的面积有最大值， ∴当点D在线段BC的垂直平分线上时，△BCD的面积取得最大值，如图4中： ∵∵AB＝AC=2+1，AD＝AE＝1，∠CAB＝∠EAD＝90°，DG⊥BC于G， ∴AG=12BC=2+22 ∴DG＝AG+AD=2+22+1=2+42，∠DAB ∴△BCD的面积的最大值为：12 旋转角α＝135°． 例3.【2020·贵州贵阳】如图，四边形ABCD是正方形，点O为对角线AC的中点. （1）问题解决：如图①，连接OB，分别取CB、OB中点P、Q，连接PQ，则PQ与BO的数量关系是 ，位置关系是 . （2）问题探究：如图②，△AO’E是将图①中的△AOB绕点A按顺时针方向旋转45°得到的三角形，连接CE，点P、Q分别为CE、O’B的中点，连接PQ，PB. 判断△PQB的形状，并证明你的结论； （3）拓展延伸：如图③，△AO’E是将图①中的△AOB绕点A按逆时针方向旋转45°得到的三角形，连接BO’，点P、Q分别为CE、BO’的中点，连接PQ、PB，若正方形ABCD的边长为1，求△PQB的面积. 【答案】见解析. 【解析】解：（1）PQ=BO，PQ⊥BO； （2）△PQB的形状是等腰直角三角形. 连接O’P并延长交BC于点F， 由旋转及正方形性质知：AB=BC，∠ABC=90°，△AO’E是等腰直角三角形