从一道错题所引出的思考.docx

从一道错题所引出的思考 福建省永定第一中学 简绍煌 1 问题的提出 在一本数学高考复习书上有这么一道题: 题目 2a 如果函数f（x） ln（x 1）的图象在x = 1处的切线 b I过点（0，-），并且I b 与圆C: x2 y2 =1相离，则点（a, b）与圆C的位置关系是 A .在圆内 B .在圆外 C.在圆上 笔者在课堂上是这样讲解的： 2 a 1 a 解?- f（x） ,??? f （1） ?故切线方程为 b x +1 b ( ). D .不能确定 y 2a In 2 - - a (x 一 1).b b 1 2a—— 1 2a ——+ b b 即 a 1 In J-. 2ln 2—1 e 1 又切线I过点（0,）, b 又ti与圆C: x2 y2 =1相离，? d |2al n 2 - a| TOC \o 1-5 \h \z \o Current Document 即 b2 ::: a2(ln2 4 —1) =ln 工 4(ln2 4 —1) =1 — In 4 , \o Current Document e e e e \o Current Document 2 2 2 4 _2 4 ?- a b =In —，1-In 1，故点（a, b）在圆内?答案是 A . e e 正当笔者为能够解答如此“复杂”运算的题目而暗自欢喜时，这时有个学生发言了: 老师，你的解法太复杂了，这样解更简单： 1 a ??切线I过点（0, -―），?切线方程为 y x，即ax by ^0 . \o Current Document b b b 又?切线 I 与圆 C: x2 + y2 =1 相离，? du,,1 1，即 a2 +b2 c1. Ja2 +b2 唉，这么简单的解题过程，自己怎么没有想到呢？自己不是常教学生 “整体法”解题吗？ 这时怎么就没有想到呢？偏偏要先求解 a和b?正当笔者感到有些失落时， 另一个学生又说 TOC \o 1-5 \h \z 4 2 4 了： “老师，你刚才的计算错了，怎么会有 b2 ：：：0呢？你看， e，所以In2 1 ：：： 0 e e 是啊，b R，怎么会有b2 ：：： 0 ?检查一下，运算没有错啊，真是怪事?再往前看，这 4 1 4 \o Current Document 才发现0 ：：： In — ：：： 1，所以a = In」一1 .（当初怎么就没注意到呢？）既然 a 1，那么就 e e 不可能有a2 b2 1，否则就会有b2 0 .由此可见，题目中出现了矛盾的命题. 若在x=1 1 2 2 处的切线I过点（0,-―），那么它一定与圆 C: x2 y2 =1相交，不可能相离.显然这是一 b 道错题. 2 几点思考 2.1解题教学应当是一个动态生成过程 教师在进行解题教学时，常会教学生一些特殊的方法与技巧，以提高解题的技能和速 度.但是，教师自己在解题实践中，有时都想不起来使用这些招术，譬如前面所用到的“整 体法”解题术.所以，笔者从这次的解题实践中，深深体会到解题教学应当有个动态生成过 程，不能有过多的预设， 要充分发挥学生的主观能动性. 要不是笔者的笨办法，要不是学生 的找茬，我们就无法发现上述题目的错误. 2.2要从多角度进行探究 作为平时解题教学或练习， 应当从多角度对题目进行探究， 包括解法以及题目本身. 笔 2a i 者在解上述题目时，觉得 (1, _ in 2)和(0,-一)这两个点都要用上，所以，在求切线方程 b b 2a 时就随便先挑了曲线上的点 (1, 一 In 2),从而使运算复杂化?仔细推敲起来，因为点 b 1 (0,-一)中横坐标是0,所以先用它应当是会更简单些?看来即便是运算顺序不同，解题的 b 难易程度都可能会有所不同. 因此在平时的解题教学中， 或学生在作练习时，都应提倡从多 角度、多方面对题目进行探究，从而发现更一般的规律. 生物学中有个黑箱理论”，认为有机体的内部，特别是大脑的机制无法直接研究，如 同一个黑箱子，只能从外部进行观察和实验来推测其功能及特性. 这个科学方法论，它在人 工智能及控制论中有着重要的作用?电子计算机的发明就是黑箱理论运用最成功的实例之 一?但显然电脑不等于大脑，只是功能相似而已?数学中的“整体法”解题，就有些类似于 黑箱理论，所以它的结果并不总是可靠的?上述题目就是一例?袁志祥等 ⑴(2008)也举 出了立体几何中的一个例子. 其实这类例子并不少见. 整体性有时会湮灭个性， 我们只有通 过具体的元素分析以及整体的综合， 才能发现真正的问题.只有通过多角度的探究，才能真 正把握问题的本质. 2.3解题应当在思想方法上获得升华 为了培养和提高学生的数学能力与科学素养，就不能只把解题看做是得分的一种手 段?你把