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试卷第 =page 3 3页,总 =sectionpages 6 6页
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2021年1月浙江省普通高中学业水平考试数学试题
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题
1.已知集合,则( )
A. B.
C. D.
2.函数的定义域是( )
A. B.
C. D.
3.( )
A. B. C. D.
4.以为直径端点的圆方程是( )
A. B.
C. D.
5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是( )
A. B. C. D.
6.不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
7.若实数满足不等式组,则的最大值是( )
A.2 B.4 C.5 D.6
8.若直线与平行,则与间的距离是( )
A. B. C. D.
9.在中,角所对的边分别为,若,则( )
A. B.或 C. D.或
10.已知平面和直线,则下列说法正确的是( )
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
11.若,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
12.函数的图象大致是( )
A. B.
C. D.
13.已知数列的前项和为,且满足,则( )
A. B.
C. D.
14.如图,正方体中,分别为棱的中点,则异面直线与所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
15.某简谐运动的图象如图所示.若两点经过秒后分别运动到图象上两点,则下列结论不一定成立的是( )
A. B.
C. D.
16.已知函数,则函数的零点个数是( )
A. B. C. D.
17.如图,椭圆的右焦点为分别为椭圆的上?下顶点,是椭圆上一点,,记椭圆的离心率为,则( )
A. B. C. D.
18.如图,在三棱锥中,,分别为棱的中点,记直线与平面所成角为,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、双空题
19.设等比数列的公比为,前项和为.若,则____,____.
三、填空题
20.已知平面向量满足,则______.
21.如图,正方形内的图形来自中国古代的太极图.勤劳而充满智慧的我国古代劳动人民曾用太极图解释宇宙现象.太极图由正方形的内切圆(简称大圆)和两个互相外切且半径相等的圆(简称小圆)的半圆弧组成,两个小圆与大圆均内切.若正方形的边长为8,则以两个小圆的圆心(图中两个黑白点视为小圆的圆心)为焦点,正方形对角线所在直线为渐近线的双曲线实轴长是_______.
22.已知,若存在实数,使得成立,则的取值范围是________.
四、解答题
23.已知函数,.
(1)求的值;
(2)求函数的最小正周期;
(3)当时,求函数的值域.
24.如图,直线与圆相切于点,与抛物线相交于不同的两点,与轴相交于点.
(1)若是抛物线的焦点,求直线的方程;
(2)若,求的值.
25.设,已知函数.
(1)若是奇函数,求的值;
(2)当时,证明:;
(3)设,若实数满足,证明:.
参考答案
一、选择题(本大题共18小题,每小题3分,共54分.每小题中只有一个选项是符合题意的,不选、多选、错选均不得分.)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
答案
B
C
B
D
A
A
C
C
D
题号
10
11
12
13
14
15
16
17
18
答案
C
A
A
D
A
B
D
B
C
二、填空题(本大题共4小题,每空3分,共15分.)
19.4,21 20. 21. 22.
三、解答题(本大题共3小题,共31分.)
23.(Ⅰ),
即;
(Ⅱ),
故的最小正周期;
(Ⅲ)当时,,
因此当,即时,;
当,即时,;
所以在上的值域为.
24.(Ⅰ)因为是抛物线的焦点,所以.
设直线的方程为,由直线与圆相切,得,即,
所以,直线的方程为.
(Ⅱ)设直线的方程为,,,,
由,得,,,所以
.
由直线与圆相切,得,即.
由,,得.
所以,又,解得.
由直线与互相垂直,得,
.
25.(Ⅰ)由题意,对任意,都有,
即,亦即,因此;
(Ⅱ)证明:因为,,
.
所以,.
(Ⅲ)设,则,
当时,;
当时,;
,,
所以.
由得,即.
①当时,,,所以;
②当时,由(Ⅱ)知,
,等号不能同时成立.
综上可知.
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