专题28 与圆有关的证明及计算巩固集训（解析版）.docVIP

与圆有关的证明及计算巩固集训 类型一　与基本性质有关的证明及计算 1. 如图，CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为G，OG∶OC＝3∶5，AB＝8. (1)求⊙O的半径； (2)点E为圆上一点，∠ECD＝15°，将eq \o(CE,\s\up8(︵))沿弦CE翻折，交CD于点F，求图中阴影部分的面积． 第1题图 【答案】解：(1)如解图，连接AO，∵CD为⊙O的直径，AB⊥CD，AB＝8， ∴AG＝eq \f(1,2)AB＝4 . 依题意，设⊙O的半径为5k，则OG＝3k， 在Rt△AGO中，由勾股定理可得(3k)2＋42＝(5k)2， 解得k＝－1(负值舍去)或k＝1. ∴⊙O的半径为5. (2)如解图，将阴影部分沿弦CE翻折，点F的对应点为M. ∵∠ECD＝15°，由对称性可知：∠DCM＝30°， S阴影＝S弓形CBM，连接OM， ∴∠MOD＝60°， ∴∠MOC＝120°. 过M作MN⊥CD于点N，在Rt△MON中， MN＝MO·sin60°＝eq \f(5\r(3),2) ， S阴影＝S扇形OMC－S△OMC＝eq \f(1,3)π×52－eq \f(1,2)×5×eq \f(5\r(3),2)＝eq \f(25,3)π－eq \f(25\r(3),4). 2. 如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连接AD. (1)求证：∠DAC＝∠DBA; (2)连接CD，若CD＝3，BD＝4，求⊙O的半径和DE的长． 第2题图 【答案】(1) 证明：∵BD平分∠CBA， ∴∠CBD＝∠DBA， ∵∠DAC＝∠CBD， ∴∠DAC＝∠DBA. 第2题解图 (2) 解：如解图，连接CD， ∵∠CBD＝∠DBA， ∴CD＝AD， ∵CD＝3， ∴AD＝3， ∵∠ADB＝90°，BD＝4， ∴AB＝5， 故⊙O的半径为2.5， S△ABD＝eq \f(1,2)AD·BD＝eq \f(1,2)AB·DE， ∵DE×AB＝AD×BD， ∴5DE＝3×4， ∴DE＝2.4， 即DE的长为2.4. 3. 如图，正三角形ABC内接于⊙O，P是eq \o(BC,\s\up8(︵))上的一点，且eq \o(PB,\s\up8(︵))<eq \o(PC,\s\up8(︵))，PA交BC于E，点F是PC延长线上的点，CF＝PB，AB＝eq \r(13)，PA＝4. (1)求证：△ABP≌△ACF； (2)求PB和PC的长． 第3题图 【答案】(1)证明：∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝AC， ∵四边形ABPC为圆的内接四边形， ∴∠ACF＝∠ABP， 在△ABP和△ACF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BA＝CA,∠ABP＝∠ACF，,BP＝CF)) ∴△ABP≌△ACF； (2) 解：∵AC2＝PA·AE，AB＝AC， ∴AE＝eq \f(13,4)， ∴PE＝AP－AE＝4－eq \f(13,4)＝eq \f(3,4)， ∵△ABP≌△ACF， ∴∠APB＝∠F＝60°， 而∠APC＝60°， ∴△APF为等边三角形， ∴PF＝PA＝4， ∴PC＋CF＝PC＋PB＝4， ∵∠BAP＝∠PCE，∠APB＝∠APC， ∴△ABP∽△CEP， ∴PB∶PE＝AP∶PC， ∴PB·PC＝PE·AP＝eq \f(3,4)×4＝3， ∵PB＋PC＝4， ∴PB和PC可看作方程x2－4x＋3＝0的实数解，解此方程得x1＝1，x2＝3， ∵PB<PC， ∴PB＝1，PC＝3. 4. 如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交CA的延长线于点E，连接AD、DE. (1)求证：D是BC的中点； (2)若DE＝3，BD－AD＝2，求⊙O的半径； (3)在(2)的条件下，求弦AE的长． 第4题图 【答案】(1)证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC， ∵AB＝AC， ∴在△ABC中，D是BC的中点． (2)解：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C， ∵∠ABC＝∠AED， ∴∠AED＝∠C， ∴CD＝DE＝3， ∴BD＝DC＝3， ∵BD－AD＝2， ∴AD＝1， 在Rt△ABD中，由勾股定理得AB2＝BD2＋AD2＝32＋12＝10， ∴AB＝eq \r(10)， ∴⊙O的半径为eq \f(\r(10),2). 第4题解图 (3)解：如解图，连接BE， ∵AB＝eq \r(10)， ∴AC＝eq \r(10)， ∵∠ADC＝∠BEA，∠C＝∠C， ∴△CDA∽△CEB， ∴eq \f(AC,BC)＝eq \f(CD,CE)， ∴eq \f(\r(10),6)＝eq \f(3,CE)， ∴CE＝eq \f(9