变分法与最优控制.ppt

2021/2/11 * 定理2-10 设系统的状态方程为 为将系统从给定的初态 转移到终端时刻 tf固定,终端状态X(tf)自由的某个终态,并使性能泛函 达到极小值的最优控制应满足的必要条件是: 2021/2/11 * （1）设U*(t)是最优控制, X*(t)是对应于U*(t)的最优轨线,则必存在一与U*(t)和X*(t)相对应的n维协态变量?(t) ,使得X(t)与?(t) 满足规范方程 其中 （2）边界条件为 （3）哈密顿函数H对控制变量U(t)（t0?t?tf）取极值,即 2021/2/11 * * 沿着最优控制和最优轨线,哈密顿函数H对时间t求全导数,得 若H不显含t时,则有 H(t)=常数 t?[t0,tf]; 也就是说,当H不显含t时，哈密顿函数H是不依赖于t的常数。 2021/2/11 * 取极小值。给定的边界条件为 解法2:哈密顿方法 例2-9 已知受控系统的动态结构如图所示。求最优控制u*(t)及最优轨线x*(t) ,使目标泛函 2021/2/11 * 取极小值。给定的边界条件为 自由 例2-10 已知受控系统的动态结构如图所示。求最优控制u*(t)及最优轨线x*(t) ,使目标泛函 2021/2/11 * 由例2-9哈密顿方法: 由协态方程得: 由控制方程得: 由状态方程得: ｛ ｛ 2021/2/11 * 例2-11 已知 系统方程和边界条件为 （1）求使性能泛函 为极小值的最优控制函数与最优轨线。 可以利用MATLAB符号工具箱求解微分方程 （2）若终端条件为x1(1)=0,x2(1)自由,求该最优控制问题。 2021/2/11 * 2.4 变分法求解最优控制问题 2、求解综合型（波尔扎）问题 (2.10) 初始条件 (2.9) 和性能泛函 (2.14) 给定系统状态方程 要求从容许控制U(t) ?Rm中确定最优控制U*(t),使系统（2.9）从给定的初态X(t0)转移到某个终态X(tf) ,并使性能泛函（2.14）达到极小值。这是波尔扎问题,又称为复合型最优控制问题。 问题 2-4 注意:给定的端点条件不同,上述最优控制问题的解将不同。 2021/2/11 * 1. 终端时刻tf固定,终端状态X(tf) 自由的情况 构造辅助泛函为: 若令哈密顿函数为 （2.15） （2.16） 并对式（2.15）积分号内第三项进行分部积分,则辅助泛函变为 2021/2/11 * （2.17） 求上式对状态变量X(t)和控制变量U(t)的变分,得 （2.19） 由于泛函J0达到极值的必要条件为 （2.18） 由于?X(t0)=0, ?X(tf)≠0, ?X(t)≠0, ?U(t)≠0，则由式（2.18）和（2.19）可得上述波尔扎型最优控制问题的解应 2021/2/11 * 终端时刻tf固定,终端状态X(tf) 自由的波尔扎型最优控制问题的解应满足的必要条件为: 这些关系与拉格朗日型最优控制问题的完全相同,所不同的只是横截条件,即协态变量的终端值 2021/2/11 * 2.终端时刻tf固定,终端状态X(tf) 受约束的情况 设终端状态受到如下等式的约束 （2.20） 其中?为r（当L=0,r?n-1;当L?0,r?n）维向量,即 这时,终端状态X(tf)即不是固定的,也不是完全自由的,只能在终端流型（2.20）上变动。在构造辅助泛函时，应考虑终端约束条件（2.20），为此，需要引入待定的拉格朗日乘子向量 2021/2/11 * 考虑到哈密顿函数为: （2.21） 并对式（2.21）积分号内第三项进行分部积分,则辅助泛函变为 构造的辅助泛函为: 2021/2/11 * 求J0对状态变量X(t)和控制变量U(t)的变分,得 考虑到? J0=0, ?X(t0)=0, ?X(tf)≠0, ?X(t)≠0, ?U(t)≠0，则得到所述最优控制问题的解应满足的必要条件 2021/2/11 * 这些关系与1中的完全相同,所不同的是状态变量的终端约束条件和横截条件: 终端时刻tf固定,终端状态X(tf) 受约束的最优控制问题的解应满足的必要条件: 2021/2/11 * 3. 终端时刻tf可变,终端状态X(tf) 受约束的情况 设终端状态X(tf)受到式（2.20）的约束条件: 其中,哈密顿函数为: 这时,不仅存在最优控制和最优轨线,还存在一个最优的终端时刻。 （2.22） 辅助泛函为 2021/2/11 * 为了确定最优的终端时刻,令式（2.22）对时间t的全导数等于零,即 得 代入 最优控制和最优轨线应满足2中的必要条件,即 2021/2/11 * （2