4.2-时域分析法--直接积分法.ppt

2021/2/11 * W=15kN x(t) 作业： 求位移时程曲线， 恢复力时程曲线， 最大位移，最大恢复力， 开始时静止。 t(s) 0.1 0.8 3.5 4.5 4 3 2 1.5 1 fs fD 计算步骤： 1.确定积分步长?t 2.确定当前积分步长内结构的 质量，刚度和阻尼矩阵以及 阻尼力和恢复力 3.计算初始加速度 4.确定等效刚度K*和等效荷载 矩阵P* 5.计算 6.根据公式(11)计算结构的位移， 速度和加速度响应 2021/2/11 * 4.2.2 Newmark β法 Newmark β法是一种加速度法,它是根据时间增量内假定的加速度变化规律计算结构动力响应的方法。由于时间增量内加速度变化规律的假定形式是任意的,因此Newmark β法有多种形式的计算公式。为了方便理解起见,以下通过几种特殊情况的加速度算法来介绍Newmark β法。 2021/2/11 * 线性加速度法 假定时刻ti到ti+1 (=ti+Δt)之间加速度线性变化 对上式积分得到速度和位移响应: 1.线性加速度法 2021/2/11 * 在时刻ti+1结构振动响应应满足运动方程: 代入方程,得到ti+1时刻的加速度: 进一步计算ti+1时刻的速度、位移。 2021/2/11 * Newmark β法有很多的表示形式,也可以表示成直接计算位移的形式。与直接计算加速度响应的计算方法相比,直接计算位移响应的计算方法更加常用。关于直接计算位移的方法后面再介绍。 2021/2/11 * 2. 平均加速度法 假定加速度在ti- ti+1区间内为平均值: 速度、位移为: 2.平均加速度法 * 2021/2/11 在时刻ti+1结构振动响应应满足运动方程: 得到ti+1时刻的加速度为: 进一步计算ti+1时刻的速度、位移。 2021/2/11 * 3. Newmark β法统一的表达式 线性加速度结果 2021/2/11 * 平均加速度结果 统一表达式 β=1/6 为线性加速度 β=1/4 为平均加速度 线性加速度结果 2021/2/11 * 用增量形式表示 振动方程 位移、速度和加速度增量 其中 * 2021/2/11 根据上式,得到速度和加速度的增量 代入运动方程 2021/2/11 * Newmark β法的收敛性 可以证明, Newmark β法当β≥1/4时,计算是无条件收敛的。 Newmark β法是工程计算中最常用的方法。 2021/2/11 * Newmark β法计算过程 2021/2/11 * 4.2.3 wilsonθ法 wilsonθ法的基本假定是在时间间隔θ Δt（θ≧1.0）内加速度响应线形变化 。 2021/2/11 * 因此,在间隔内任意时刻τ的加速度根据线性内插可以表示为: 对上式积分,得到速度和位移的计算式 * 2021/2/11 代入结构运力方程式 得到计算 时刻位移的方程组 * 2021/2/11 得到位移后进一步得到t+τ加速度,然后内插得到t+Δt加速度,进一步计算位移和速度。 当θ≧1.37时Wilsonθ法为无条件稳定的计算方法 2021/2/11 * wilsonθ法的计算过程 1. 计算常数 2021/2/11 * 2. 等效刚度计算 2021/2/11 * 3. 对每一时间步计算等效荷载增量 4. 解方程计算位移 2021/2/11 * 5.计算时刻t+Δt的响应 2021/2/11 * 用增量形式表示的Wilsonθ法（推导省略） 计算公式 增量方程 2021/2/11 * 得到 时刻的响应, 再转变成t+Δt的响应: 2021/2/11 * 直接积分法的补充说明 一种算法很难同时兼顾稳定性和精度,稳定与精度往往具有相反的倾向,稳定性好的计算方法精度相对比较差一些。一般而言,显式积分的稳定性差一些,而且时间间隔的取值对计算稳定性的影响很大。 稳定性好的计算方法并不意味可以用任意大的时间步长进行积分计算,无条件稳定的计算方法（比如Wilsonθ法）虽然不会发生数学上的发散现象,但是容易出现早期结果偏大、后期出现异常振动的计算结果,而且也有可能导致高频振动的计算结果失真的现象,因此,这种算法一般不太合适于带有冲击响应的结构计算。对于高次振动成分比较重要的计算,用非常小的时间步长按显式积分较多。 2021/2/11 * W=15kN x(t) 例： 求位移时程曲线， 恢复力时程曲线， 最大位移，最大恢复力， 开始时静止。 t(s) 0.1 0.8 2.5 4 3.5 2.5 1.5 1 0.5 fs 3kN 0.05 fD 0.05 解: 1.确定步