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第7讲
不等式中的构造思想
本讲义由作业帮ꢂ周永亮ꢃ老师独家编撰ꢄ侵权必究
知ꢀ导ꢁ
1ꢀ三种ꢁ蔽性较强的构造思
ꢤ1ꢥꢄꢍ方ꢦ两ꢧꢒꢓ
ꢤ2ꢥꢄꢍ不ꢨ式两ꢧꢒꢓ
ꢤ3ꢥꢀꢨꢩꢪꢁꢫ志性ꢨ式
;
;
2ꢀ构造函数比较大小问
在很多ꢃ及到ꢄ大小ꢅꢆ中ꢇ很多时候我们很ꢈꢉ接ꢊꢋ大小ꢌꢄꢍꢇꢎ是ꢏꢐꢑ新ꢒꢓ
函数ꢇꢔ据函数ꢌ性ꢕꢇꢊ一ꢖ作出大小ꢄꢍꢗꢘꢙꢒꢓ思想和我们前ꢚꢂ到ꢌ《ꢒꢓ思
想》不同ꢇ《ꢒꢓ思想》ꢛꢚꢌ函数ꢜ是ꢒꢓ抽ꢝ函数ꢇ或ꢞ抽ꢝ函数与具体函数ꢟꢠ合
ꢌ函数ꢇꢎꢘꢛ所ꢒꢓꢌ函数全ꢡ是具体ꢌ函数ꢗ
例ꢢꢄꢍ
ꢣꢢ
与
ꢌ大小ꢇ只ꢏꢐꢒꢓ函数
即可,.
.
- 1 -
不 ꢀ 式 中 ꢊ ꢇ ꢈ 思 想
ꢘ 7 ꢓ
3ꢀ构造函数解决不等式问
在很多不ꢀ式ꢁ明ꢂꢃ中ꢄ有很多ꢅꢆꢇꢈ函数ꢄꢉ据函数ꢊ性ꢋꢄꢌꢁ明不ꢀ式是成ꢍ
ꢊꢎ
ꢏꢐ不ꢀ式ꢁ明中ꢊ函数ꢇꢈ有很多ꢄꢑꢒ我们只ꢓ出基ꢔꢊꢇꢈ思想ꢄ更多ꢊꢇꢈ思想
我们会在《差ꢕ换元ꢖ》中介ꢗꢎ
知ꢀ札ꢁ
- 2 -
ꢀ典例ꢁ
考点ꢀꢁ比较方程两边构造
;
例1
ꢀ★★★☆☆ꢁ
已 ꢂ
ꢃ 并 且 ꢄ ꢅ ꢉ 件
ꢃ ꢔ 么
ꢆꢇ:
ꢎꢆ: ꢕ据已ꢂꢊ去方ꢖ中ꢗ 可得方ꢖ
;
化ꢋ得ꢌ
;
ꢏꢐ函数ꢌ
;
ꢈ于
在定义域
单ꢑꢒ增ꢃ
故ꢄꢅ
,
所以ꢃ
ꢃ所以
;
故ꢆꢇ为ꢌ1.
例2
ꢀ★★★☆☆ꢁ
已ꢂ实数 ꢃ ꢄꢅ
ꢃ
ꢃ则
ꢀ
ꢁ
A.-2
B. 0
ꢁ. 1
ꢂ.8
ꢆꢇ: B
ꢎꢆ: ꢈ已ꢂꢉ件ꢃꢊ去 并化ꢋ得ꢌ
ꢍ
ꢏꢐ函数
所以
,
;
在其定义域内单ꢑꢒ增ꢍ
因为
;
所以ꢃ
故ꢓꢌ .
;
例3
ꢀ★★★★★ꢁ 2016ꢀ
- 3 -
已 ꢋ 实 数
ꢃ
ꢖ ꢗ
ꢃ则
ꢃ
ꢃ ꢄ
ꢃ
ꢇ值为
ꢘ
ꢈꢉ:
ꢐꢈ: 实数 ꢃ ꢖꢗ
ꢃ
ꢃ
ꢃ
ꢂ
ꢊ
ꢃꢊꢙ意得ꢃ
ꢃ即
ꢃ即
ꢃ故
因为
在区ꢚ
上是单ꢒꢓ增函数
ꢃ即
故ꢈꢉ为ꢍ
考点2 比较不等式两边构造
;
例4
ꢀ★★★☆☆ꢁ
ꢂ
ꢃ且
ꢃ则下列不ꢅ式必定成ꢆꢇ是ꢀ
ꢁ
A.
B.
ꢁ.
ꢂ.
ꢈꢉ: ꢂ
ꢐꢈ: ꢊ已ꢋꢌ件得ꢍꢎꢏ函数
;
易ꢑ
在
是偶函数ꢃ
单ꢒꢓ增ꢔ
且在
单ꢒꢓ减ꢔ在
因为
ꢃ即
ꢃ即
;
所以ꢃ必定有
故ꢕꢍ
例5
ꢀ★★★☆☆ꢁ 2019ꢀ
ꢂ
ꢃ
ꢀ
ꢁ
A.ꢄ
ꢁ. ꢄ
ꢃ则
ꢃ则
B. ꢄ
ꢂ.ꢄ
ꢃ则
ꢃ则
- 4 -
ꢆꢇ: A
ꢉꢆ: 对于ꢖꢗ ꢃ
ꢈ函数
ꢃ可ꢂ其为增函数
ꢘꢙ意可ꢂ
所以ꢂ
则ꢖꢗ ꢎꢏꢃ ꢚꢛ
对于ꢖꢗ ꢃ ꢃꢈ函数
ꢜ导后可ꢂ
ꢃ
与
在
上均不是单ꢊ函数
所以ꢓ据已ꢂꢐ式无ꢝ判断 ꢃ ꢅ大小
故ꢖꢕ
例6
ꢀ★★★☆☆ꢁ
已ꢂ ꢃ
且
ꢃ则下列ꢌꢍꢎꢏꢅ是ꢀ
ꢁ
A.
B.
ꢀ.
ꢁ.
ꢆꢇ: A
ꢉꢆ:
ꢐ价于
ꢃ即
因为余弦函数是偶函数
故
ꢃꢑꢒ函数
得到函数是偶函数
ꢓ据偶函数ꢅ定义
ꢔ
在
上ꢃ
ꢃ
ꢃ故函数单ꢊ增
又因为
ꢃ故得到
故ꢆꢇ为ꢕ
考点3 “等ꢀ线”标志性等式
例7
ꢀ★★★☆☆ꢁ
已ꢂ函数
ꢃ
ꢃ且
ꢃꢄ
取最小值为
时ꢃ实
数
ꢅ值为
ꢆꢇ:
ꢉꢆ: ꢈ
ꢃ则
ꢃ
ꢃ
所以
ꢃ
ꢃ
;
ꢈ
;
所以ꢃ
因为
;
单ꢊꢋ增ꢃ且
;
- 5 -
所以当
当
时,
;
;
时ꢃ
所以ꢃ
所以ꢃ
;
.
例8
ꢀ★★★☆☆ꢁ
ꢂ函数
则
ꢃ
ꢃꢄ存在
ꢃ使得
成ꢒꢃ
ꢅ最小值是
ꢇꢈ:
ꢌꢇ:
ꢉ已ꢋꢓ件得ꢃ
ꢃ即
ꢔ
因ꢕꢃ
ꢂ
;
ꢃ
,
,
;
所以
在
单ꢐꢑ增ꢔ
所以
所以ꢃ
所以ꢃ
所以ꢃ
在
单ꢐꢑ增ꢔ
;
ꢅ最小值是 ꢖ
例9
ꢀ★★★☆☆ꢁ
ꢂ函数
ꢃ
ꢃꢄ
ꢃ当
取最小值4时ꢃ实数
ꢅ取值ꢆ围为
ꢇꢈ:
ꢌꢇ: ꢉꢊ意ꢋꢃ
ꢍꢎ函数
易ꢏ
ꢃ所以
ꢃ
;
在
单ꢐꢑ增ꢃ
单ꢐꢑ减
所以ꢃ
;
所以ꢃ
.
考点4 构造函数比较大小问ꢀ
例10
ꢀ★★★☆☆ꢁ
- 6 -
已ꢂ
是ꢀ
ꢏ
ꢀ 是ꢕꢖ对数ꢆ底数ꢁꢏ
ꢏ则 ꢏ ꢏ ꢆ大小关ꢇ
ꢁ
A.
B.
ꢁ.
ꢂ.
ꢎꢐ: A
ꢍꢎ: ꢗ
ꢏ则
ꢏ令
ꢏ可得
可ꢂ
在
上单ꢘꢙ增ꢏ又
ꢏ即
例11
已ꢂ
A.
ꢀ★★★☆☆ꢁ 2018ꢀ
ꢏ
ꢏ
ꢏ则它们ꢆ大小关ꢇ是ꢀ
ꢁ
B.
ꢁ.
ꢂ.
ꢎꢐ: ꢁ
ꢍꢎ: ꢑꢒ函数
当
ꢀ
ꢁꢏ
ꢀ
ꢁ
在
时ꢏ
时ꢏ
ꢏ函数
上是减函数
当
ꢏ函数
ꢏ即
在
上是增函数
所以
ꢏ则
ꢏ即
所以
因为函数
所以
在
上是增函数ꢏ且
ꢏ即
所以
故ꢓꢔ
例12
ꢀ★★☆☆☆ꢁ 2018ꢀ
已ꢂ
ꢀ1ꢁꢄꢅ想
ꢃ
与
ꢆ大小关ꢇꢈ
ꢀ2ꢁꢉ明上ꢊ中你ꢆꢋꢌꢃ
ꢍꢎ: ꢀ1ꢁꢅ想
ꢀ2ꢁ令
ꢏ则
当
时ꢏ
- 7 -
即函数
又因为
所以
即
在
上单ꢇꢒ减
故
考点5 构造函数解决不等式问ꢀ
例13
ꢀ★★★☆☆ꢁ 2018
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