函数与导数高考热点终极破解-第5讲 零点问题（解析版）.pptxVIP

第ꢉ讲 ꢂ点ꢃꢄ 本讲义由作业帮周永亮老师ꢆ白哥ꢇ独家编撰ꢈ侵权必究 知ꢀ导ꢁ ꢅꢀ曲线与一条可平移的动直线解决ꢂ点ꢃꢄ 在ꢄ点的考查范围中ꢃ对于含参函数ꢄ点的考查ꢃ一般我们会把ꢆ种ꢁꢂ转换为另外一个 函数的图象与直线的交点ꢁꢂꢃ从而能够更加简单的处理ꢆ种ꢁꢂꢈ 转化的方式分为以下两种ꢍ ꢎ1ꢏ求 的ꢄ点ꢁꢂꢃ转化为直线 与曲线 的交点ꢁꢂꢐ 与曲线 ꢎ ꢎ2ꢏ求 的ꢄ点ꢁꢂꢃ转化为直线 ꢏ的交点ꢁꢂꢐ 注:关于直线与曲线之ꢉ所涉及到的ꢄ点ꢁꢂꢃꢂ型ꢊ常的多ꢃꢆꢋ我们只讨论ꢆ种上下平移直 线与曲线交点的ꢁꢂꢃ更多的转换方式ꢃ我们会在本人编写的《ꢌ填压轴典藏大招》中的《ꢄ 点ꢁꢂ》ꢆ一章中详细介绍ꢈ 2 ꢀ直接分类讨ꢁ求取ꢂ点ꢃꢄ 同恒成立ꢁꢂ一样ꢃ在ꢄ点ꢁꢂ中同样会ꢅ到不容易离参ꢃ或者离参之后不容易求导的情 况ꢃ对于ꢆ种情况下的ꢁꢂꢃ我们ꢇ取直接分类讨论求取ꢄ点的方法ꢈ - 1 - ꢎ 点 ꢂ ꢃ 第 5 讲 ꢃꢀ变号ꢄ点处理极值ꢁꢂ 所谓变号ꢎ点ꢀ就是ꢎ点两ꢏ函数的取值异号ꢄ 比如ꢀ函数 ꢎ点同时也是原函数的极值点ꢋ但ꢀ如果函数 是导函数的ꢎ点ꢀ但不是 ꢀ同时ꢀ也不是原函数的极值点 . 的导函数为 ꢀ此时 是导函数的变号ꢎ点ꢀ该 的导函数为 ꢀ此 时 ꢊ么ꢀ从另一个角度来说ꢀ原函数存在几个极值点ꢀ就代表导函数存在几个变号ꢎ点ꢄ 4ꢀ三次函数切线ꢁꢂ 已知一点 ꢀꢁ点 做三次函数 的切线ꢀ 切线的条数有多少条ꢀ我们可以转化为一元三次方程根的ꢂꢃꢄ 求解步ꢅ如下ꢆ ꢇ1ꢈ设切点为 则点 是曲线上一点ꢀ 处切线斜率为 , 切线方程也可以表示为 ꢇ2ꢈ此时我们知ꢉꢀ如果我们知ꢉ 的值ꢀꢊ么我们就一定能够求出切线 的方程ꢀ 换句话说ꢀ我们知ꢉ有多少个 的值ꢀ就对应有多少条切线ꢋ ꢇ3ꢈ此时此刻ꢀ我们只ꢌ将 次方程ꢀ 带入切线 的方程ꢀ就会得到一个关于 的一元三 , 方程可以简写为ꢆ , 方程有几个解ꢀ就对应几条切线ꢋ ꢇ4ꢈ构ꢍ函数 ꢀ判断此函数的ꢎ点个数ꢋ - 2 - 知ꢀ札ꢁ - 3 - ꢅ 点 ꢈ ꢉ 第 5 讲 ꢀ典例ꢁ 考点1 曲线与一条可平移的动直线求取ꢀ点个数 例1 ꢀ★★★☆☆ꢁ 2019ꢀ 已知函数 ꢀ1ꢁ若 ꢀ2ꢁ若 ꢂ 的图象在点 处的切线与直线 平行ꢃ求 的值ꢄ ꢃ讨论 的ꢅ点个数ꢂ 解答: ꢀ1ꢁ函数 ꢃ ꢃ 图象在点 由切线与直线 解得 处的切线斜率为 平行ꢃ可得 经检ꢆꢃ当 所以 时ꢃ 的图象在点 处的切线与直线 平行 ꢀ2ꢁ若 在 ꢃ可得 时单调ꢇ增 由 ꢃ可得 ꢃ由 ꢃ即 的ꢅ点个数为 若 ꢃ即为 可得 ꢃ 设 ꢃ则 ꢃ 当 时ꢃ 时ꢃ ꢃ ꢃ 单调ꢇ减 单调ꢇ增 当 可得 处 取得极大值ꢃ且为最大值 的图象如图 - 4 - 由 ꢂ即 时ꢂ ꢂ可得 和 的图象只有一个交点 即 的ꢃ点个数为 的ꢃ点个数为 综上ꢂ 在 例2 ꢀ★★★★☆ꢁ 设函数 ꢂ ꢂ讨论函数 的ꢃ点个数ꢄ 解答: 依ꢅ意 ꢂ 所以 所以 所以 令 即 ꢂ则 的ꢃ点个数等价于 与 图象的交点个数 因为 由 得 所以 由 的ꢆ增区ꢇ为 的ꢆ减区ꢇ为 得 所以 所以 则 在 处取得极大值ꢂ极大值为 ꢂ且 图象如下 所以当 时ꢂ 与 无交点ꢂ则 无ꢃ点 - 5 - 当 当 或 时ꢂ 时ꢂ 与 有一个交点ꢂ则 有两个交点ꢂ则 有一个ꢅ点 有两个ꢅ点 时ꢂ 与 综上所ꢇꢂ 或 无ꢅ点 时ꢂ 有一个ꢅ点 时ꢂ 有两个ꢅ点 例3 ꢀ★★★★☆ꢁ 2016ꢀ 已知函数 ꢂ ꢃ ꢀ ꢁ求函数 在 处的切线方程ꢄ ꢀ ꢁ若 ꢂ讨论函数 ꢅ点的个数ꢃ 解答: ꢀ ꢁ函数的导数 则 ꢂ 在 则函数 所以函数 处的切线方程 ꢂ即 在 处的切线方程为 ꢀ ꢁ由 得 设 则 当 当 当 时ꢂ 时ꢂ ꢂ此时函数 ꢂ此时函数 ꢂ此时函数 单调ꢆ增ꢂ且 单调ꢆ增 时ꢂ 单调ꢆ减 即当 时ꢂ函数 取得极小值 作出函数 的草图如图 - 6 - 当 若 若 若 时 时ꢂ 时ꢂ 时ꢂ 有 个不同的根ꢂ即函数 有 个不同的根ꢂ即函数 有 个根ꢂ即函数 有 个不同的ꢃ点 有 个不同的ꢃ点 有 个ꢃ点 考点2 曲线与一条可平移的动直线求取参数范围 例4 ꢀ★★★☆☆ꢁ 2019ꢀ 已知函数 为ꢀ A. ꢂ函数 有两个ꢃ点ꢂ则实数 的取值范围 ꢁ B. ꢂ. ꢁ. 答案: ꢁ 解答: 由ꢄ意ꢂ令 ꢂ ꢂ则 ꢂ即函数 在区ꢅ 上单调 的值域 ꢆ减ꢂ故函数 的值域为 ꢂ可知函数 令 ꢂ 在区ꢅ 上单调ꢆ增ꢂ则函数 为 由于函数 ꢂ函数 均为单调函数ꢂ且函数 有两个ꢃ点ꢂ则 故实数 的取值范围为 故ꢇꢈ - 7 - 例5 ꢀ★★★☆☆ꢁ 2017ꢀ 设函数 ꢀ其中 为自然对数的底数ꢁꢆ若函数 至少存在一个ꢅ 点ꢆ则实数 的取值范围是ꢀ ꢁ A. B. ꢁ. ꢂ. 答案: ꢂ 解答: 令 设