2018年高考数学专题复习难点突破名师讲练：导数与函数、不等式综合问题.docx

2018 年高考数学专题复习难点突破名师讲练：导数与函数、不等式综合问题 一、考点突破 函数与不等式解答题是高考命题的重要题型， 解答这类题需要用到导数的相关知识。 其命题热点经常是与导数知识的综合考查， 出现频率较高的题型是最值、 范围问题， 单调性或方程根的讨论等综合问题。 二、重难点提示 重点：导数的定义和几何意义；和差积商的导数；复合函数的导数。 难点：导数与函数单调性、 极值、最值的关系； 利用导数解决不等式、 函数零点等问题。 一、知识脉络图 导数的概念 导数的几何意义、物理意义 常见函数的导数 导 导数的运算 导数的运算法则 数 函数的单调性 导数的应用 函数的极值 函数的最值 二、知识点拨 1. 导数的定义： f (x0 x) f ( x0 ) lim f (x) f (x0 ) lim f ( x0 2 x) f (x0 ) f ( x0 ) lim x x x0 2 x x 0 x x0 x 0 导数的几何意义： （ 1）函数 y f ( x) 在点 x0 处的导数 f ( x0 ) ，就是曲线 y f ( x) 在点 P( x0 , y0 ) 处的 切线的斜率； （ 2）函数 s s(t) 在点 t0 处的导数 s (t0 ) ，就是物体的运动方程 s s(t ) 在时刻 t 0 时的 瞬时速度； 3. 要熟记求导公式、 导数的运算法则、 复合函数的导数等。 尤其注意： (log ax ) 1 log ae 和 x ＝0 的根及导数不存在的点，这些根或点也称为可能极值点； ax a x ln a 。 求函数单调区间的步骤： 1）确定 f（ x）的定义域 2）求 f（ x）的导数 3）令 y′>0（ y′<0），解出相应的 x 的范围。 当 y′>0时，f（ x）在相应区间上是增函数；当 y′<0时， f （ x）在相应区间上是减函数 求极值常按如下步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数；③求方程 y / ④通过列表法，检查在可能极值点的左右两侧的符号，确定极值点。 设函数 f（x）在[a，b]上连续，在（ a， b）内可导，求 f（x）在 [a，b]上的最大（小）值的步骤如下： 1 ）求 f （ x ）在（ a， b）内的极值； 2 ）将 f （ x）的各极值与 f （ a）， f （ b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。 最值（或极值）点必在下列各种点之中：导数等于零的点、导数不存在的点、端点。 能力提升类 例 1 已知函数 f ( x) ( x2 ax 2a2 3a)ex ( x R), 其中 a R （Ⅰ）当 a 0 时，求曲线 y f (x)在点 (1, f (1)) 处的切线的斜率； （Ⅱ）当 a 2 f ( x) 的单调区间与极值。 时，求函数 3 一点通： （Ⅰ）把 a＝ 0 代入 f（ x）中化简得到 f（ x）的解析式，求出 f ' （ x），因为曲线的切点 为（ 1， f （ 1）），所以把 x＝ 1 代入 f ' （ x）中求出切线的斜率，把 x＝1 代入 f （ x）中求出 f （1）的值得到切点坐标，根据切点和斜率写出切线方程即可； （Ⅱ）令 f '（ x）＝ 0 求出 x 的值为 x＝－ 2a 和 x＝ a－ 2，分两种情况讨论：①当－ 2a ＜a－ 2 时和②当－ 2a＞a－ 2 时，讨论 f '（ x）的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减 性即可得到函数的最值。 答案：（ I） 当 a 0时， f ( x) x 2 ex ，f '( x) ( x2 2x)ex，故 f ' (1) 3e. 所以曲线 y f ( x)在点 (1, f (1))处的切线的斜率为 3e. （II） 令 f ' ( x) 0，解得 x 2a，或 x a 2.由 a 2 知， 2a a 2. 3 以下分两种情况讨论。 （ 1） 若 a ＞ 2 2a ＜ a 2。当 x 变化时， f '( x)， f ( x) 的变化情况如下表： ，则 3 x ， 2a 2a 2a， a 2 a 2 a 2， ＋ 0 － 0 ＋ ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以 f ( x)在( ， 2a)，(a 2， )内是增函数，在 ( 2a，a 2)内是减函数 . 函数 f (x)在x 2a处取得极大值 f ( 2a)，且 f ( 2a) 3ae 2a . 函数 f ( x)在 x a 2处取得极小值 f ( a 2)，且 f ( a 2) (4 3a) ea 2 . （ 2） 若 a ＜ 2 ，则 2a ＞ a 2，当 x 变化时， f '( x)， f ( x) 的变化情况如下