完整版高中数学完整讲义——排列与组合5.排列组合问题常见模型1.docx

(完整版)高中数学完整讲义——排列与组合5.排列组合问题常见模型1 (完整版)高中数学完整讲义——排列与组合5.排列组合问题常见模型1 PAGE / NUMPAGES (完整版)高中数学完整讲义——排列与组合5.排列组合问题常见模型1 高中数学讲义 摆列组合问题的常有模型 1 知识内容 1．基本计数原理 ⑴加法原理 分 数原理：做一件事，达成它有 n 法，在第一 法中有 m1 种不一样的方法，在第二 法中 有 m2 种方法， ?? ，在第 n 法中有 mn 种不一样的方法．那么达成 件事共有 N m1 m2 L mn 种 不一样的方法．又称加法原理． ⑴乘法原理 分步 数原理：做一件事，达成它需要分红 n 个子步 ，做第一个步 有 m1 种不一样的方法，做第二个步 有 m2 种 不 同 方 法 ， ?? ， 做 第 n 个 步 有 mn 种 不 同 的 方 法 ． 那 么 完 成 件 事 共 有 m1 m2 L mn 种不一样的方法．又称乘法原理． ⑴加法原理与乘法原理的综合运用 假如达成一件事的各样方法是互相独立的， 那么计算达成这件事的方法数时， 使用分类计数原理．假如达成一件事的各个步骤是互相联系的， 即各个步骤都一定达成， 这件事才告达成， 那么计算达成这件事的方法数时，使用分步计数原理． 分类计数原理、 分步计数原理是推导摆列数、组合数公式的理论基础，也是求解摆列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要一定仔细学好，并正确地灵巧加以应用． 2． 摆列与组合 ⑴摆列：一般地，从 n 个不一样的元素中任取 m(m ≤ n) 个元素，依据必定的次序排成一列，叫做从 n 个不一样元素中拿出 m 个元素的一个摆列． （此中被取的对象叫做元素） 摆列数：从 n 个不一样的元素中拿出 m(m ≤ n) 个元素的所有摆列的个数， 叫做从 n 个不一样元素中拿出 m 个元素的摆列数，用符号 A mn 表示． 摆列数公式： A mn 全摆列：一般地， 的阶乘：正整数由  n(n 1)(n 2) L (n m 1) ， m，n N ，而且 m ≤ n ． n 个不一样元素所有拿出的一个摆列，叫做 n 个不一样元素的一个全摆列． 1到 n 的连乘积，叫作 n 的阶乘，用 n! 表示．规定： 0! 1 ． 思想的挖掘 能力的飞腾 1 高中数学讲义 ⑴组合：一般地， 从 n 个不一样元素中，随意拿出 m ( m ≤ n) 个元素并成一组，叫做从 n 个元素中任取 个元素的一个组合． 组合数：从 n 个不一样元素中，随意拿出 m (m ≤ n) 个元素的所有组合的个数，叫做从 n 个不一样元素 中，随意拿出 m 个元素的组合数，用符号 Cnm 表示． 组合数公式： Cnm n( n 1)(n 2) L ( n m 1) n! ， m, n N ，而且 m ≤ n ． m! m!( n m)! 组合数的两个性质：性质 1： Cnm Cnn m ；性质 2： Cnm 1 Cnm Cnm 1 ．（规定 Cn0 1 ） ⑴摆列组合综合问题 解摆列组合问题， 第一要用好两个计数原理和摆列组合的定义， 即第一弄清是分类仍是分步， 是排 列仍是组合，同时要掌握一些常有种类的摆列组合问题的解法： 1．特别元素、特别地点优先法 元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其余元素； 地点优先法：先考虑有限制条件的地点的要求，再考虑其余地点； 2．分类分步法： 对于较复杂的摆列组合问题， 常需要分类议论或分步计算， 必定要做到分类明确， 层次清楚，不重不漏． 3．清除法，从整体中清除不切合条件的方法数，这是一种间接解题的方法． 4．捆绑法： 某些元素必相邻的摆列， 能够先将相邻的元素 “捆成一个 ”元素，与其余元素进行摆列， 而后再给那 “一捆元素 ”内部摆列． 5．插空法：某些元素不相邻的摆列，能够先排其余元素，再让不相邻的元素插空． 6．插板法： n 个同样元素， 分红 m( m≤ n) 组，每组起码一个的分组问题 —— 把 n 个元素排成一排， 从 n 1个空中选 m 1 个空，各插一个隔板，有 Cnm 11 ． 7．分组、分派法：分组问题（分红几堆，无序）．有平分、不平分、部分平分之别．一般地均匀 分红 n 堆（组），一定除以 n ！，假如有 m 堆（组）元素个数相等，一定除以 m ！ 8．错位法：编号为 1 至 n 的 n 个小球放入编号为 1 到 n 的 n 个盒子里，每个盒子放一个小球，要求 小球与盒子的编号都不一样，这类摆列称为错位摆列，特别当 n 2 ，3，4，5 时的错位数各为 1，2， 9，44．对于 5、6、7 个元素的错位摆列的计算，能够用