小学数学知识点例题精讲《容斥原理之数论问题》学生版.pdf

7-7-4 容斥原理之数论问题 教学目标 1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容; 2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用． 知识要点 一、两量重叠问题 在一些计数问题中,经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数,不能简单地把两 个集合的元素个数相加,而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数,即减去交集的元素个数,用式 A  B  A  B  A  B  子可表示成： (其中符号 “ ”读作 “并”,相当于中文 “和”或者 “或”的意思;符号  “ ”读作 “交”,相当于中文 “且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理,简称容斥原理．图示如下: A B A  B 表示小圆部分, 表示大圆部分, 表示大圆与小圆的公共部分,记为： ,即阴影面积．图示如下: C A B A  B 表示小圆部分, 表示大圆部分, 表示大圆与小圆的公共部分,记为： ,即阴影面积． C 1．先包含—— A  B A  B 2 1 重叠部分 计算了 次,多加了 次; 　 2．再排除—— A  B  A  B 包含与排除原理告诉我们,要计算两个集合A、B 的并集A  B 的元素的个数,可分以下两步进行： 1 A  B 把多加了 次的重叠部分 减去． 第一步：分别计算集合A、B 的元素个数,然后加起来,即先求A  B (意思是把A、B 的一切元素都 “包含” 进来,加在一起); 第二步：从上面的和中减去交集的元素个数,即减去C  A  B (意思是 “排除”了重复计算的元素个数)． 二、三量重叠问题 A B  A B A B 类、 类与C 类元素个数的总和 类元素的个数 类元素个数C 类元素个数 既是 类又是 类 B A  A B 的元素个数 既是 类又是C 类的元素个数 既是 类又是C 类的元素个数 同时是 类、 类、C 类的元   素个数．用符号表示为：A  B  C  A  B  C  A  B B  C  A  C  A  B  C ．图示如下： 1 A B 图中小圆表示 的元素的个数,中圆表示 的元素的个数,大 圆表示 的元素的个数． C