2021年高一数学暑假作业常用三角公式含解析沪教版.doc

常用三角公式 一、单选题 1．已知，直线与函数的交点分别为A，B，则线段长度的最大值为（ ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】先由题中条件，得到；进而得出，结合三角恒等变换，将该式化简整理， 利用三角函数的性质，即可得出结果. 【详解】因为，， 又直线与函数的交点分别为A，B， 所以 ， 又，所以， 因此线段长度的最大值为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于由题中条件将线段的长度转化为，利用三角函数的性质即可求解. 2．已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据诱导公式，将原式变形，求出，再由二倍角的正切公式，即可得出结果. 【详解】由可得，则，所以； 因此. 故选：C. 3．已知，且，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】原不等式等价于，化简得，结合正弦函数的图象解关于的不等式得到，分别取和，并将得到的范围与取交集，可得答案． 【详解】解：不等式等价于 化简得 令，得 取得；取，得 再将以上范围与取交集，可得 故选：． 4．已知函数在 上有两个零点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简，再令，求出范围，根据在上有两个零点，作图分析，求得的取值范围. 【详解】，由，又， 则可令， 又函数在上有两个零点，作图分析： 则，解得. 故选：B. 【点睛】本题考查了辅助角公式，换元法的运用，三角函数的图象与性质，属于中档题. 二、填空题 5．已知，，则的值为_______． 【答案】3 【分析】由两角和差的正弦公式，即可得出结果. 【详解】由题可得 所以 故答案为：3 6．已知sin＝－，则＝________. 【答案】 【分析】根据辅助角公式先转化为，即可得解. 【详解】因为， 所以cos x＋cos . 故答案为：. 7．化简：cos x＋sin x＝________. 【答案】或 【分析】逆用两角和与差的正弦或余弦公式求解即可 【详解】解：， 或， 故答案为：或 8．若cos αcos β＋sin αsin β＝0，则α－β的值为________. 【答案】 【分析】利用两角和与差的余弦公式化简求解即可 【详解】解：由cos αcos β＋sin αsin β＝0，得， 所以， 故答案为： 9．________. 【答案】 【分析】利用诱导公式结合二倍角的正弦公式可求得结果. 【详解】. 故答案为：. 10．第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础进行设计的，如图，会标是由四个全等的直角三角形与一个正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较大的角为．那么_______． 【答案】 【分析】求出直角三角形中的直角边长，得，再由两角和的正切公式计算． 【详解】由题意直角三角形的面积为，设直角三角形中小直角边长为，则大直角边长为，于是，解得，（舍去）， 所以， ． 故答案为：． 11．已知，则的值是__________. 【答案】2 【分析】根据两角和的正切函数的公式，求得，代入即可求解. 【详解】因为，可得， 又由，可得， 所以， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了两角和的正切函数的化简、求值，其中解答中熟记两角和的正切函数的公式，准确 运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题. 三、解答题 12．已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边与单位圆交点为． （1）求和的值； （2）求的值． 【答案】（1），；（2） 【分析】先由任意角的三角函数的定义求出、，再运用诱导公式、两角和的余弦及二倍角正弦公式求值. 【详解】根据题意，， （1）， ， （2） 13．求下列各式的值： （1）； （2）. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）先将切化弦，再通分得到，逆用两角和的余弦公式，结合二倍角的正弦公式，即可得出结果； （2）先将原式化为，根据两角差的正弦公式以及余弦公式，将原式化为，再由两角差的正切公式，即可求出结果. 【详解】（1） ； （2） . 14．已知， （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的值． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） 【分析】（Ⅰ）利用和的正切公式展开即可求解； （Ⅱ）将原式化为关于的式子即可求解. 【详解】（Ⅰ），解得， （Ⅱ）原式. 15．要在一个半径为的半圆形铁板中截取一块面积最大的矩形，问应如何截取，并求出此矩形的面积． 【答案】矩形面积的最大值为， 截取方法见解析. 【分析】作出图形，设，可得出矩形的面积关于的表达式，化简函数解析式，利用正弦型函数的有界性求出矩形的面积的最大值及其对应的值，由此可得出结论. 【详解】设半圆的圆心为点，连接，设，则， 则，， 所以，矩形的面积为，