2020_2021学年新教材高中数学第八章立体几何初步8.6.1直线与直线垂直同步课件新人教A版必修第二册.ppt

　角度2　利用异面直线所成的角求值? 【典例】正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为4,点P是棱BB1上一点,若异面直线AC1与PD所成角的余弦值为 ,则BP=　　　　.? 【思路导引】先补形作出异面直线所成的角,再设出BP,利用BP表示出异面直线所成角的余弦值后求值. 【解析】将原正方体的一侧补上另一个正方体ABEF-A1B1E1F1变为如图所示的长 方体. 在EE1上取点P1使EP1=BP, 连接AP1,C1P1,则DP??AP1,∠P1AC1即为异面直线AC1,DP 所成的角(或补角). 设BP=x,则AP1= ,P1C1= . 又AC1=4 , =48+32+x2=80+x2,P1 =80+x2-8x, P1 , 所以∠C1AP1为锐角, cos ∠C1AP1= 解得x=1. 答案:1 【解题策略】 1.关于补形作异面直线所成的角 当不方便作异面直线所成角时,可以考虑补形,一是补一个相同形状的几何体,以方便作平行直线,二是将不常见的几何体补成一个常见的几何体,如四棱锥补成一个正方体. 2.关于异面直线的应用 当已知条件中含有异面直线所成角时,应先作出该角,才能应用此条件,但要注意作出的角不一定是已知异面直线所成角,也可能是已知角的补角,应分情况讨论. 8.6　空间直线、平面的垂直 8.6.1　直线与直线垂直 必备知识·自主学习 1.异面直线所成的角 (1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a′∥a,b′∥b,把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). (2)本质:通过平移把异面直线转化为相交直线,即把空间图形问题转化为平面图形问题. (3)应用:刻画异面直线的位置关系. 【思考】 平面内两条相交直线所成角的定义是什么? 提示:两直线相交,所成的锐角或直角叫做两相交直线所成的角. 2.异面直线互相垂直 (1)定义:如果两条异面直线所成的角是_____,那么这两条异面直线互相垂直; (2)记作:a⊥b; (3)异面直线所成角的范围:_____________. 0°α≤90° 直角 【思考】 　异面直线垂直与平面内两条直线垂直有何异同? 提示:相同点是所成的角都是90°,不同点是异面直线垂直没有交点,平面内两条直线垂直有公共点. 3.空间两条直线所成的角 (1)当两直线a∥b时,规定a与b所成的角为0°; (2)空间两条直线成角α的取值范围:0°≤α≤90°. 【基础小测】 1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”) (1)空间中若两条直线垂直,则两条直线是相交直线. (　　) (2)分别与两条异面直线平行的两条直线是异面直线. (　　) (3)△ABC中,A=120°,则与AB,AC分别平行的异面直线所成的角为120°. (　　) 提示:(1)×.两直线可能是异面直线. (2)×.两直线可能相交. (3)×.与AB,AC平行的异面直线所成的角为60°. 2.已知空间中的三条直线a,b,c满足a⊥c且b⊥c,则直线a与直线b的位置关系是 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.平行 B.相交 C.异面 D.平行或相交或异面 【解析】选D. 如图,在长方体AC1中, AB⊥AD,AB⊥A1D1,AD∥A1D1, AB⊥AD,AB⊥AA1,AD∩AA1=A,AB⊥AD,AB⊥CC1,AD与CC1异面,所以,垂直于同一直线的两条直线可平行,可相交,也可异面. 3.(教材二次开发:练习改编)如图所示,在正方体ABCD -A1B1C1D1中,E,F分别是 AB,AD的中点,则异面直线B1C与EF所成的角的大小为 (　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 【解析】选C.连接BD,B1D1,D1C知△D1B1C是等边三角形,所以D1B1与B1C所成角为 60°,故B1C与EF所成角也是60°. 关键能力·合作学习 类型一　求异面直线所成的角(直观想象、数学运算) 【题组训练】 1.(2020·新乡高一检测)在长方体ABCD -A1B1C1D1中,AB=3,AD=1,AA1= ,点O 为长方形ABCD对角线的交点,E为棱CC1的中点,则异面直线AD1与OE所成的角 为　　　　.? 2.(2020·南京高一检测)如图,已知四面体ABCD的棱长均为2,E是AB的中点,则异面直线CE与BD所成角的余弦值为　　　　.? 【解析】1.连接AC,AC1,BD,因为点O为长方形ABCD对角线的交点,E为棱CC1的中 点,所以OE∥AC1, 所以∠D1AC1是异面直线AD1与OE所成角, 在Rt△D1AC1中,AD1= ,C1D1=3, 所以ta