双曲线的简单几何性质 课件.ppt

2.经过点M(2,2)作直线l交双曲线 于A,B两点，且M为AB中点. (1)求直线l的方程； (2)求线段AB的长. 【解析】1.选B.由c＝3，设双曲线方程为 双曲线方程及性质的应用 直线与双曲线的位置关系及判定 直线：Ax+By+C=0， 双曲线： 两方程联立消去y，得mx2+nx+q=0. 位置关系 公共点个数 判定方法 相交 相切 相离 2个或1个 1个 m≠0且Δ=0 0个 m≠0且Δ＜0 1.研究直线和双曲线位置关系时，联立直线和双曲线的方程消元后得到的方程一定是二次方程吗？ 提示：不一定，可能是一次的，也可能是二次的.当得到一次方程时，直线一定和双曲线的渐近线平行. 2.直线和双曲线有一个公共点，能否判断直线和双曲线一定相切？ 提示：不能，当直线和双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线只有一个公共点，此时直线与双曲线相交. 3.直线2x-y-10=0与双曲线 的交点是 . 【解析】由 得3x2-32x+84=0,解得x=6或 将其分别代入直线方程得 即交点坐标为(6,2)和 答案:(6，2)和 正确理解直线与双曲线位置关系及判定 一般地，设直线l：y=kx+m(m≠0), ① 双曲线C： ② 把①代入②得 (b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0. (1)当b2-a2k2=0，即 时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C相交于一点. (2)当b2-a2k2≠0，即 时， Δ=(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)(-a2m2-a2b2). Δ＞0?直线与双曲线有两个公共点，此时称直线与双曲线相交； Δ=0?直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲线相切； Δ＜0?直线与双曲线没有公共点，此时称直线与双曲线相离. 直线和双曲线位置关系的判定 直线与双曲线位置关系的判定方法及应注意的问题 直线与双曲线的位置关系的判定，通常是利用方程的观点，即把直线与双曲线的方程联立，讨论方程组解的个数，方程组有几个解，那么直线与双曲线就有几个公共点．但判定直线与双曲线是否相交、相切、相离时应注意： (1)直线与双曲线相交时，有一个交点或两个交点之分； (2)直线与双曲线有一个公共点时，有相交或相切之分． 故直线与双曲线只有一个交点是直线与双曲线相切的必要不充分条件． 【典例训练】 1.已知双曲线 过点P(1,1)的直线l与双曲线只有一 个公共点，则这样的直线l有_____条. 2.已知直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4. (1)若直线与双曲线的右支有两个相异的公共点，求k的取值范 围； (2)若直线与双曲线没有公共点，求k的取值范围． 【解析】1.(1)当直线l的斜率不存在时，l：x＝1与双曲线相 切，符合题意； (2)当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝k(x－1)＋1， 代入双曲线方程得(4－k2)x2－(2k－2k2)x－k2＋2k－5＝0. ①当4－k2＝0，即k＝±2时，l与双曲线的渐近线平行，l与双曲 线只有一个公共点； ②当4－k2≠0时，令Δ＝0，所以k＝ 综上所述，当k＝ 或k＝±2或斜率不存在时满足题意， 所以这样的直线一共有4条. 答案:4 2.(1)联立方程组 消去y 得方程(1－k2)x2＋2kx－5＝0， 由题意得，此方程有两个不等的正根． 得(1－k2)x2＋2kx－5＝0, 由题意知此方程无解．则 则k的取值范围为 【互动探究】第2题中若直线与双曲线只有一个公共点，试求k的值. 【解析】联立方程组 得方程(1－k2)x2＋2kx－5＝0， 由直线与双曲线只有一个公共点知方程(1－k2)x2＋2kx－5＝0只有一个解 ①当1-k2=0,即k=±1时，方程只有一解； ②当1-k2≠0时，需满足Δ=4k2+20(1-k2)=0, 解得 综上可知,k的值为±1或 【思考】求解第1题时容易忽略哪种情形？“直线与双曲线有两相异交点”和“直线与双曲线的右支有相异两交点”有何区别？ 提示：(1)求解第1题时容易忽略直线l的斜率不存在的情形而出错； (2)直线与双曲线的右支有相异两交点是直线与双曲线有两相异交点的一种情形，消y之后的方程有两正根. 直线与双曲线的相交弦问题 1.直线和双曲线相交所得弦长的两种求