初中数学因式分解的常用方法(精华例题详解)(20210314140106).docx

◎荆楚培训学校 ◎荆楚培训学校 PAGE PAGE # ◎荆楚培训学校 初中阶段因式分解的常用方法(例题详解) 因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中 占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。 因式分解的对象是多项式； 因式分解的结果一定是整式乘积的形式； 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止； 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式； 结果如有相同因式，应写成幕的形式； 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解； 因式分解的一般步骤是： 通常采用一 “提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提， 其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得 分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解； 若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项(添项)等 方法. 因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下： 一、 提公因式法. 如多项式 am + bm + cm = m(a + b + c), 其中m叫做这个多项式各项的公因式，m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式. 二、 运用公式法. 运用公式法，即用 a2 _b2 = (a + b)(a-b)# a2 土 2ab + b2 = (a ± b)2z a3 土 b3 = (a±b)(a2 ab+b2) 写岀结果. 三、分组分解法. (-)分组后能直接提公因式 例1、分解因式：am + an + bm + bn 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多 项式前两项都含有a,后两项都含有b,因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑 两组之间的联系。 解:原式=(am + an) + (bm + bn) =a(m + n) + b(m + n) ?每组之间还有公因式！ = (m + n)(a + b) 思考：此题还可以怎样分组？ 解法二：第一、四项为一组；第二、三项为一组。原式=(2ax - bx) + (-10ay + 5 解法二：第一、四项为一组；第二、三项为一组。原式=(2ax - bx) + (-10ay + 5 创 =x(2a -b)- 5y(2a - b) = (2a-b)(x-5y) 2、xy-x-y+1 解法一：第一、二项为一组； 第三、四项为一组。 解：原式=(2ax-10ay) + (5by-bx) = 2a(x-5y)-b(x-5y) = (x-5y)(2a-b) 练习：分解因式1、a2 —ab+ac —be (二)分组后能直接运用公式 例3、分解因式：X2-y2 + ax+ay 分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只 能另外分组。 解：原式=(x2-y2) + (ax+ay) = (x+y)(x—y) + a(x+y) = (x+y)(x-y+a) 例4、分解因式：a? —2ab+b2—c? 解：原式=(a2 — 2ab + b2) — c2 = (a-b)2 — c2 = (a-b-c)(a-b + c) 注意这两个例题的区别！ 练习：分解因式 3、X2 —X —9y2 —3y 4、x2 —y2 —z2 —2yz (1) x3 + x2y-xy2-y3x2 (1) x3 + x2y-xy2-y3 x2 + 6xy + 9y2 -16a2 +8a-1 a? —6ab + 12b + 9b2—4a (5) a4 —2a^ + a2—9 (6) 4a2x-4a2y-b2x + b2y x?— 2xy—xz+yz+y2 a 2 — 2a + b 2 — 2b + 2ab+1 y(y-2)-(m-1)(m + 1) (a + c)(a-c) + b(b-2a) a2(b + c) + b2(a + c) + c2(a + b) + 2abc(⑵ a3+ b3+ c3_3abc 四、十字相乘法. (-)二次项系数为1的二次三项式 直接利用公式——x2 + (p + q)x+ pq = (x+ p)(x + q)进行分解。 特点：(1)二次项系数是1； 常数项是两个数的乘积； 一次项系数是常数项的两因数的和。 例5、分解因式：X2 + 5X+6 分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。 由于6=2 X 3=(-2) X (-3)=1 X 6=(-1) X (-6),从中可以发现只有2X3的分解适合，即2+3=5 o 1 2 X 解：x2 + 5x+6=x2 + (2 + 3)x+2x3 1 = (x+