高考数学一轮复习学案+训练+课件（北师大版文科）： 第7章 立体几何初步 第5节 垂直关系学案 文 北师大版.docVIP

第五节　垂直关系 [考纲传真]　1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题． (对应学生用书第104页) [基础知识填充] 1．直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 如果一条直线l与平面α内的任何直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直． (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥a,l⊥b,a∩b＝O,aα,bα))?l⊥α 性质定理 两直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行 eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b 2．平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直 eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥α,lβ))?α⊥β 性质定理 如果两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面 eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝a,l⊥a,lβ))?l⊥α [知识拓展] 1．若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． 2．一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直． 3．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面． [基本能力自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(　　) (2)垂直于同一个平面的两平面平行．(　　) (3)若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线平行．(　　) (4)若两个平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．(教材改编)设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且lα，mβ.(　　) A．若l⊥β，则α⊥β　　　　 B．若α⊥β，则l⊥m C．若l∥β，则α∥β D．若α∥β，则l∥m A　[∵l⊥β，lα，∴α⊥β(面面垂直的判定定理)，故A正确．] 3．(2016·浙江高考)已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满足 m∥α，n⊥β，则(　　) A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n C　[∵α∩β＝l，∴lβ. ∵n⊥β，∴n⊥l.] 4．如图7-5-1，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________. 【导学号 图7-5-1 4　[∵PA⊥平面ABC， ∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC， 则△PAB，△PAC为直角三角形． 由BC⊥AC，且AC∩PA＝A， ∴BC⊥平面PAC，从而BC⊥PC． 因此△ABC，△PBC也是直角三角形．] 5．边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则折叠后AC的长为________． a　[如图所示，取BD的中点O，连接A′O，CO， 则∠A′OC是二面角A′-BD-C的平面角． 即∠A′OC＝90°，又A′O＝CO＝eq \f(\r(2),2)a， ∴A′C＝eq \r(\f(a2,2)＋\f(a2,2))＝a，即折叠后AC的长(A′C)为A．] (对应学生用书第105页) 线面垂直的判定与性质 　如图7-5-2所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明： 图7-5-2 (1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面ABE. [证明]　(1)在四棱锥P-ABCD中，∵PA⊥平面ABCD， CD平面ABCD，∴PA⊥CD． 又∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A， ∴CD⊥平面PAC．而AE平面PAC，∴CD⊥AE. (2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA． ∵E是PC的中点，∴AE⊥PC． 由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD． 又PD平面PCD，∴AE⊥PD． ∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB． 又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，而PD平面PAD， ∴AB⊥PD． 又AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE. [规律方法] 1．证明直线与