高考数学一轮复习学案+训练+课件（北师大版理科）： 第6章 不等式、推理与证明 第2节 基本不等式及其应用学案 理 北师大版.docVIP

第二节　基本不等式及其应用 [考纲传真]　(教师用书独具)1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． (对应学生用书第95页) [基础知识填充] 1．基本不等式：eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2) (1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． (3)其中eq \f(a＋b,2)称为正数a，b的算术平均数，eq \r(ab)称为正数a，b的几何平均数，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 2．几个重要的不等式(注意逆应用) (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号． (2)ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq \s\up12(2) (a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号． (3)eq \f(a2＋b2,2)≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq \s\up12(2)(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号． (4)eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号． 3．利用基本不等式求最值 已知x≥0，y≥0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2eq \r(p)(简记：积定和最小)． (2)如果和x＋y是定值q那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是eq \f(q2,4)(简记：和定积最大)． [知识拓展] 1.eq \f(2ab,a＋b)≤eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)≤eq \r(\f(a2＋b2,2))(a＞0，b＞0)． 2．不等式的恒成立、能成立、恰成立问题 (1)恒成立问题：若f(x)在区间D上存在最小值，则不等式f(x)＞A在区间D上恒成立?f(x)min＞A； 若f(x)在区间D上存在最大值，则不等式f(x)＜B在区间D上恒成立?f(x)max＜B. (2)能成立问题：若f(x)在区间D上存在最大值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x)＞A成立?f(x)max＞A； 若f(x)在区间D上存在最小值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x)＜B成立?f(x)min＜B. (3)恰成立问题：不等式f(x)＞A恰在区间D上成立?f(x)＞A的解集为D； 不等式f(x)＜B恰在区间D上成立?f(x)＜B的解集为D. [基本能力自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个不等式a2＋b2≥2ab与eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)成立的条件是相同的．(　　) (2)(a＋b)2≥4ab(a，b∈R)．(　　) (3)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．(　　) (4)函数y＝x＋eq \f(1,x)的最小值是2.(　　) (5)函数f(x)＝cos x＋eq \f(4,cos x)，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))的最小值等于4.(　　) (6)x＞0且y＞0是eq \f(x,y)＋eq \f(y,x)≥2的充分不必要条件．(　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×　(5)×　(6)√ 2．(教材改编)设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　) A．80　　　　　　 B．77 C．81 D．82 C　[∵x＞0，y＞0，∴eq \f(x＋y,2)≥eq \r(xy)，即xy≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2)))eq \s\up12(2)＝81，当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81.] 3．已知f(x)＝x＋eq \f(1,x)－2(x＜0)，则f(x)有(　　) A．最大值0 B．最小值0 C．最大值－4 D．最小值－4 C　[∵x＜0，∴f(x)＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1((－x)＋\f(1,(－x))))－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝eq \f(1,－x)，即x＝－1时取等号． ∴f(x)有最大值－4.] 4．若函数f(x)＝x＋eq \f(1,x－2)(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于(　　) A．1＋eq \r(2) B．1＋eq \r(3) C．3 D．4 C　[当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋eq \f(1,x－2)＋2≥2eq \r((x－2)×\f(1,x－2))＋2＝4，当且仅当x－2＝eq \f(1,x－2)(x>2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3，选C.] 5．若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场