高考数学一轮复习学案+训练+课件（北师大版理科）： 第5章 数列 第3节 等比数列及其前n项和学案 理 北师大版.docVIP

第三节　等比数列及其前n项和 [考纲传真]　(教师用书独具)1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系． (对应学生用书第84页) [基础知识填充] 1．等比数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫作等比数列．这个常数叫作等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为eq \f(an＋1,an)＝q(n∈N＋，q为非零常数)． (2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么根据等比数列的定义，eq \f(G,a)＝eq \f(b,G)，G2＝ab，G＝±eq \r(ab)，那么G叫作a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项?a，G，b成等比数列?G2＝ab. 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1qn－1. (2)前n项和公式： Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(na1(q＝1)，,\f(a1(1－qn),1－q)＝\f(a1－anq,1－q)(q≠1).)) 3．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N＋)． (2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N＋)，则am·an＝ap·aq＝aeq \o\al(2,k)； (3)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))，{aeq \o\al(2,n)}，{an·bn}，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))(λ≠0)仍然是等比数列； (4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk. [基本能力自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)满足an＋1＝qan(n∈N＋，q为常数)的数列{an}为等比数列．(　　) (2)G为a，b的等比中项?G2＝ab.(　　) (3)若{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．(　　) (4)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝eq \f(a(1－an),1－a).(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝eq \f(1,4)，则公比q＝(　　) A．－eq \f(1,2)　　 B．－2　　　　C．2　　　　D.eq \f(1,2) D　[由通项公式及已知得a1q＝2①，a1q4＝eq \f(1,4)，② 由②÷①得q3＝eq \f(1,8)，解得q＝eq \f(1,2).故选D.] 3．(2017·北京高考)若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，则eq \f(a2,b2)＝________. 1　[设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q， 则由a4＝a1＋3d，得d＝eq \f(a4－a1,3)＝eq \f(8－(－1),3)＝3， 由b4＝b1q3得q3＝eq \f(b4,b1)＝eq \f(8,－1)＝－8，∴q＝－2. ∴eq \f(a2,b2)＝eq \f(a1＋d,b1q)＝eq \f(－1＋3,－1×(－2))＝1.] 4．(教材改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为__________． 27,81　[设该数列的公比为q，由题意知， 243＝9×q3，q3＝27，∴q＝3. ∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81.] 5．(2015·全国卷Ⅰ)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝__________. 6　[∵a1＝2，an＋1＝2an， ∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列． 又∵Sn＝126，∴eq \f(2(1－2n),1－2)＝126，解得n＝6.] (对应学生用书第85页) 等比数列的基本运算 　(1)在等比数列{an}中，a3＝7，前3项和S3＝21，则公比q的值为(　　) A．1　　　　　 B．－eq \f(1,2) C．1或－eq \f(1,2) D．－1或eq \f(1,2) (2)已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列{an}的前n (1)C　(2)2n－1　[(1)根据已知条件得 eq \b\lc\{\