高考数学（苏教版，理）一轮配套文档：第3章 3.2 导数在研究函数中的应用.DOCVIP

§3.2　 导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性 在某个区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减. 2.函数的极值 (1)判断f(x0)是极值的方法 一般地，当函数f(x)在点x0处连续时， ①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值； ②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值. (2)求可导函数的极值的步骤 ①求f′(x)； ②求方程f′(x)＝0的根； ③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧导数值的符号.如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值. 3.函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值. (2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值. (3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下： ①求f(x)在区间(a，b)内的极值； ②将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f′(x)>0是f(x)为增函数的充要条件. (　×　) (2)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的. (　×　) (3)函数的极大值不一定比极小值大. (　√　) (4)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件. (　×　) (5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值. (　√　) (6)函数f(x)＝xsin x有无数个极值点. (　√　) 2.函数f(x)＝x2－2ln x的单调减区间是________. 答案　(0,1) 解析　∵f′(x)＝2x－eq \f(2,x)＝eq \f(2?x＋1??x－1?,x)(x>0). ∴当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)为减函数； 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数. 3.如图是y＝f(x)的导函数的图象，对于下列四个判断： ①f(x)在[－2，－1]上是增函数； ②x＝－1是f(x)的极小值点； ③f(x)在[－1,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数； ④x＝3是f(x)的极小值点. 其中正确的判断是________.(填序号) 答案　②③ 解析　①∵f′(x)在[－2，－1]上是小于等于0的， ∴f(x)在[－2，－1]上是减函数； ②∵f′(－1)＝0且在x＝0两侧的导数值为左负右正， ∴x＝－1是f(x)的极小值点； ③对， ④不对，由于f′(3)≠0. 4.若函数f(x)＝eq \f(x2＋a,x＋1)在x＝1处取极值，则a＝________. 答案　3 解析　f′(x)＝eq \f(2x2＋2x－x2－a,?x＋1?2)＝eq \f(x2＋2x－a,?x＋1?2).因为f(x)在x＝1处取极值，所以1是f′(x)＝0的根，将x＝1代入得a＝3. 5.函数f(x)＝x3＋ax－2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________. 答案　[－3，＋∞) 解析　f′(x)＝3x2＋a，f′(x)在区间(1，＋∞)上是增函数， 则f′(x)＝3x2＋a≥0在(1，＋∞)上恒成立，即a≥－3x2在(1，＋∞)上恒成立.∴a≥－3.  题型一　利用导数研究函数的单调性 例1　已知函数f(x)＝ex－ax－1. (1)求f(x)的单调增区间； (2)是否存在a，使f(x)在(－2,3)上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由. 思维启迪　函数的单调性和函数中的参数有关，要注意对参数的讨论. 解　f′(x)＝ex－a， (1)若a≤0，则f′(x)＝ex－a≥0， 即f(x)在R上单调递增， 若a>0，ex－a≥0，∴ex≥a，x≥ln a. 因此当a≤0时，f(x)的单调增区间为R， 当a>0时，f(x)的单调增区间是[ln a，＋∞). (2)∵f′(x)＝ex－a≤0在(－2,3)上恒成立. ∴a≥ex在x∈(－2,3)上恒成立. 又∵－2<x<3，∴e－2<ex<e3，只需a≥e3. 当a＝e3时，f′(x)＝ex－e3在x∈(－2,3)上， f′(x)<0，即f(x)在(－2,3)上为减函数，∴a≥e3. 故存在实