高三理科数学二轮复习必考问题专项突破 3 不等式及线性规划问题.docVIP

问题3　不等式及线性规划问题 1．(2011·上海)若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式恒成立的是(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．a2＋b2＞2ab B．a＋b≥2eq \r(ab) C.eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＞eq \f(2,\r(ab)) D.eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2 答案：D　[对于A：当a＝b＝1时满足ab＞0，但a2＋b2＝2ab，所以A错；对于B、C：当a＝b＝－1时满足ab＞0，但a＋b＜0，eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＜0，而2eq \r(ab)＞0，eq \f(2,\r(ab))＞0，显然B、C不对；对于D：当ab＞0时，由基本不等式可得eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2.] 2．(2012·辽宁)若x∈[0，＋∞)，则下列不等式恒成立的是(　　)． A．ex≤1＋x＋x2 B.eq \f(1,\r(1＋x))≤1－eq \f(1,2)x＋eq \f(1,4)x2 C．cos x≥1－eq \f(1,2)x2 D．ln(1＋x)≥x－eq \f(1,8)x2 答案：C　[正确命题要证明，错误命题只需举一个反例即可．如A，因为e3＞1＋3＋32，故A不恒成立；同理，当x＝eq \f(1,3)时，eq \f(1,\r(1＋x))＞1－eq \f(1,2)x＋eq \f(1,4)x2，故B不恒成立；因为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos x＋\f(1,2)x2－1))′＝－sin x＋x≥0(x∈[0，＋∞))，且x＝0时，y＝cos x＋eq \f(1,2)x2－1＝0，所以y＝cos x＋eq \f(1,2)x2－1≥0恒成立，所以C对；当x＝4时，ln(1＋x)＜x－eq \f(1,8)x2，故D不恒成立．] 3．(2012·山东)设变量x，y满足约束条件eq \b\lc\(\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋2y≥2，,2x＋y≤4，,4x－y≥－1，))则目标函数z＝3x－y的取值范围是(　　)． A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，6)) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，－1)) C．[－1,6] D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－6，\f(3,2))) 答案：A　[ 作出不等式组所表示的区域如图，由z＝3x－y得，y＝3x－z，平移直线y＝3x，由图象可知当直线经过点E(2，0)时，直线y＝3x－z的截距最小，此时z最大为z＝3×2－0＝6，当直线经过C点时，直线y＝3x－z的截距最大，此时z最小，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4x－y＝－1，,2x＋y＝4，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)，,y＝3，))此时z＝3x－y＝eq \f(3,2)－3＝－eq \f(3,2)，所以z＝3x－y的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，6)).] 4．(2012·安徽)若x，y满足约束条件eq \b\lc\(\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≥0，,x＋2y≥3，,2x＋y≤3，))则x－y的取值范围是________． 解析　 记z＝x－y，则y＝x－z，所以z为直线y＝x－z在y轴上的截距的相反数，画出不等式组表示的可行域如图中△ABC区域所示．结合图形可知，当直线经过点B(1,1)时，x－y取得最大值0，当直线经过点C(0,3)时，x－y取得最小值－3. 答案　[－3,0] 本部分内容高考主要考查以下几方面： (1)考查利用基本不等式求最值、证明不等式等，利用基本不等式解决实际问题． (2)考查以线性目标函数的最值为重点，目标函数的求解常结合其代数式的几何意义(如斜率、截距、距离、面积等)来求解． (3)一元二次不等式经常与函数、导数、数列、解析几何相结合考查参数的取值范围，以考查一元二次不等式的解法为主，并兼顾二次方程的判别式、根的存在等． 不等式部分重点掌握一元二次不等式的解法，特别是含有字母参数的一元二次不等式的解法，基本不等式求最值，二元一次不等式组所表示的平面区域，包括平面区域的形状判断、面积以及与平面区域有关的最值问题，简单的线性规划模型在解决实际问题中的应用．对不等式的深入复习要结合数列、解析几何、导数进行. 必备知识 一元二次不等式 (1)一元二次不等式的解集可以由一元二次方程的解结合二次函数的图象得