高考文科数学突破二轮复习新课标通用讲义：专题六 第3讲　导数的简单应用含答案.docVIP

第3讲　导数的简单应用 [做真题] 1．(2019·高考全国卷Ⅱ)曲线y＝2sin x＋cos x在点(π，－1)处的切线方程为(　　) A．x－y－π－1＝0　　　　　　 B．2x－y－2π－1＝0 C．2x＋y－2π＋1＝0 D．x＋y－π＋1＝0 解析：选C.依题意得y′＝2cos x－sin x，y′|x＝π＝(2cos x－sin x)|x＝π＝2cos π－sin π＝－2，因此所求的切线方程为y＋1＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0，故选C. 2．(2019·高考全国卷Ⅲ)已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则(　　) A．a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1 C．a＝e－1，b＝1 D．a＝e－1，b＝－1 解析：选D.因为y′＝aex＋ln x＋1，所以k＝y′|x＝1＝ae＋1，所以切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)，即y＝(ae＋1)x－1，与切线方程y＝2x＋b对照，可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ae＋1＝2，,b＝－1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝e－1，,b＝－1.))故选D. 3．(2019·高考全国卷Ⅲ节选)已知函数f(x)＝2x3－ax2＋2.讨论f(x)的单调性． 解：f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)． 令f′(x)＝0，得x＝0或x＝eq \f(a,3). 若a>0，则当x∈(－∞，0)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)，＋∞))时，f′(x)>0；当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,3)))时，f′(x)<0.故f(x)在(－∞，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)，＋∞))单调递增，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,3)))单调递减． 若a＝0，则f(x)在(－∞，＋∞)单调递增．若a<0，则当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(a,3)))∪(0，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)，0))时，f′(x)<0.故f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(a,3)))，(0，＋∞)单调递增，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)，0))单调递减． [明考情] 1．此部分内容是高考命题的热点内容，在选择题、填空题中多考查导数的几何意义，难度较小． 2．应用导数研究函数的单调性、极值、最值，多在选择题、填空题最后几题的位置考查，难度中等偏上，属综合性问题．有时也常在解答题的第一问中考查，难度一般． 　　　导数的运算及其几何意义(基础型) [知识整合] 导数公式 (1)(sin x)′＝cos x； (2)(cos x)′＝－sin x； (3)(ax)′＝axln a(a＞0)； (4)(logax)′＝eq \f(1,xln a)(a＞0，且a≠1)． 导数的几何意义 函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(x0)，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)． [考法全练] 1．已知函数f(x)＝eq \f(x,ex)(e是自然对数的底数)，则其导函数f′(x)＝(　　) A.eq \f(1＋x,ex)　　　　　　　　　 B.eq \f(1－x,ex) C．1＋x D．1－x 解析：选B.函数f(x)＝eq \f(x,ex)，则其导函数f′(x)＝eq \f(ex－xex,e2x)＝eq \f(1－x,ex)，故选B. 2．(2019·福州市第一学期抽测)曲线f(x)＝x＋ln x在点(1，1)处的切线与坐标轴围成的三角形面积为(　　) A．2 B.eq \f(3,2) C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,4) 解析：选D.f′(x)＝1＋eq \f(1,x)，则f′(1)＝2，故曲线f(x)＝x＋ln x在点(1，1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，此切线与两坐标轴的交点坐标分别为(0，－1)，(eq \f(1,2)，0)，则切线与坐标轴围成的三角形的面积为eq \f(1,2)×1×eq \f(1,2)＝eq \f(1,4)，故选D. 3．(2019·郑州市第一次质量预测)已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)的图象与直线x－y＋1＝0相切，则实数