数学百大经典例题——两平面垂直的判定和性质（新课标）.docVIP

典型例题一 例1．根据叙述作图，指出二面角的平面角并证明． （１）如图1，已知．在内作于，在内作于． （２）如图２，已知．作于，在内作于，连结． （３）已知．作于，于，平面，连结、． 作图与证明在此省略． 说明：本题介绍了作二面角的平面角的三种常用方法，其中用三垂线定理及逆定理的方法最常用，还需补充这种方法的其他典型图形． 典型例题二 例2. 如图，在立体图形中，若是的中点，则下列命题中正确的是（ ）. （A）平面⊥平面 （B）平面⊥平面 （C）平面⊥平面，且平面⊥平面 （D）平面⊥平面，且平面⊥平面 分析：要判断两个平面的垂直关系，就需固定其中一个平面，找另一个平面内的一条直线与第一个平面垂直. 解：因为且是的中点，所以同理有，于是平面.因为平面，所以平面平面.又由于平面,所以平面平面.所以选C. 说明：本题意图是训练学生观察图形，发现低级位置关系以便得到高级位置关系.在某一个平面内,得到线线垂直的重要途径是出现等腰三角形底边的中线,由线线垂直得到线面垂直,由线面垂直可得到面面垂直. 典型例题三 例３．如图，是所在平面外的一点，且平面，平面平面．求证． 分析：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．． 证明：在平面内作，交于．因为平面平面于，平面，且，所以．又因为平面，于是有①．另外平面，平面，所以．由①②及，可知平面．因为平面，所以． 说明：在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直线面垂直线线垂直． 典型例题四 例４．如图，是⊙的直径，垂直于⊙所在的平面，是圆周上异于、的任意一点，求证：平面平面． 分析：证明面面垂直的有两个依据，一是证明二面角的平面角为直角，二是利用两个平面垂直的判定定理．由于点的任意性，用方法一的可能性不大，所以要寻求线面垂直． 证明：因为是⊙的直径，是圆周上的点，所以有①． 因为平面，平面，则②． 由①②及，得平面． 因为平面，有平面平面． 说明：低一级的垂直关系是判定高一级垂直关系的依据，根据条件，由线线垂直线面垂直面面垂直．通过这个例题展示了空间直线与平面的位置关系的内在联系，垂直关系的判定和性质共同构成了一个完整的知识体系． 典型例题五 例５．如图，点在锐二面角的棱上，在面内引射线，使与所成的角为，与面所成的角大小为，求二面角的大小． 分析：首先根据条件作出二面角的平面角，然后将平面角放入一个可解的三角形中（最好是直角三角形），通过解三角形使问题得解． 解：在射线上取一点，作于，连结，则为射线与平面所成的角，．再作，交于，连结，则为在平面内的射影．由三垂线定理的逆定理，，为二面角的平面角． 设，在中，,在△中， , 是锐角，,即二面角等于． 说明：本题综合性较强，在一个图形中出现了两条直线所称的角，斜线与平面所称的角，二面角等空间角，这些空间角都要转化为平面角，而且还要彼此联系相互依存，要根据各个平面角的定义添加适当的辅助线． 典型例题六 例６．如图，将边长为的正三角形以它的高为折痕折成一个二面角． （１）指出这个二面角的面、棱、平面角； （２）若二面角是直二面角，求的长； （３）求与平面所成的角； （４）若二面角的平面角为，求二面角的平面角的正切值． 分析：根据问题及图形依次解决． 解：（１）二面角的面为和面，棱为，二面角的平面角为． （２）若，． （３）平面，为与平面所成的角．在直角三角形中，，于是． （４）取的中点，连结、， ， 为二面角的平面角． 在直角三角形中，． 说明：这是一个折叠问题，要不断地将折叠前后的图形加以比较，抓住折叠前后的变与不变量． 典型例题七 例7　正方体的棱长为1，是的中点．求二面角的大小． 分析：求二面角关键是确定它的平面角，按定义在二面角的棱上任取了点，在二个半平面上分别作棱的垂线，方法虽简便，但因与其他条件没有联系，要求这个平面角一般是很不容易的，所以在解题中不大应用．在解题中应用得较多的是“三垂线定理”的方法，如图考虑到垂直于平面，在平面上的射影就是．再过作的垂线，则面，过作的垂线，即为所求二面角的平面角了． 解：过作及的垂线，垂足分别是、，连结． ∵面，面， ∴， 又，∴面． 又∵，∴， ∴为所求二面角的平面角． ∵∽，∴． 而，，，∴． 在中，． ∵，∴． 在中，， 在中，， ∴． 典型例题八 例8　在所在平面外有一点，已知，与底面所成角为，二面角的大小为，且．求二面角的大小． 分析：由题设易证，由已知得平面，显然所求的二面角是直二面角，此时只需证明二面有的两个面垂直即可．在解这种类型题时，如果去作二面角的平面角，那么可能会走弯路． 解：如图所示，作平面于，连结并延长交于，连结． ∵平面， ∴是与平面所成角，