名师精讲与专题突破：专题18+破解定积分的简单应用（理）-备战高考高三数学一轮热点难点.docVIP

考纲要求: 1、了解定积分的概念，能用定义法求简单的定积分，用微积分基本定理求简单的定积分； 2、了解定积分的几何意义，能够实现曲边图形的面积与定积分面积的相互转化. 基础知识回顾: 1、曲边梯形的定义 我们把由直线和曲线所围成的图形称为曲边梯形。 2、曲边梯形的面积的求法：分割→近似代替（以直代曲）→求和→取极限 3、定积分的概念 一般地，设函数在区间上连续，用分点 将区间等分成个小区间，每个小区间长度为（），在每个小区间上任取一点，作和式： 如果无限接近于（亦即）时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分。记为：， 其中是积分号，是积分上限，是积分下限， 是被积函数，是积分变量，是积分区间，是被积式。 【注】（1）定积分是一个常数，可以是正数，也可以是负数，也可以是零，即无限趋近的常数（时）记为，而不是． （2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：等分区间；②近似代替：取点；③求和：；④取极限： 4．定积分的性质 根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质： 性质1（定积分的线性性质）； 性质2（定积分的线性性质）； 性质3（定积分对积分区间的可加性） 5．定积分的几何意义 （1）从几何上看，如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由直线和曲线所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积。 （2）从几何上看，如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由直线和曲线所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积的相反数。 （3）从几何上看，如果在区间上函数连续，且函数的图像有一部分在轴上方，有一部分在轴下方，那么定积分表示轴上方的曲边梯形的面积减去下方的曲边梯形的面积。 （4）图中阴影部分的面积S= 6、微积分基本定理 一般地，如果是区间上的连续函数，并且，那么，这个结论叫做微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼茨公式。为了方便，我们常把记成，即。 计算定积分的关键是找到满足的函数。 7、公式 （1） （2） （3） (4) (5)； (6) 8、 定积分的简单应用 （1）在几何中的运用：计算图形的面积 方法：画图→定域→分割面积→用定积分表示面积→计算 （2）在物理中的应用: 9、求定积分的方法 (1)数形结合利用面积求 （2）利用微积分基本原理求 应用举例: 类型一、定积的计算 【例1】【福建省莆田第九中学2018届高三高考模拟考试】若cos2t=-t0 A． π6 B． π3 C． π 【答案】C 【解析】分析：首先求出定积分0tcosxdx，代入cos2t=-0tcosxdx，利用二倍角公式得到关于 详解：∵0 又cos2t=- ∴cos 即1-2sin 解得sint=1或sin ∵t∈0,π,∴t=π 点睛：本题主要考查定积分的求法、二倍角的余弦公式，考查了已知三角函数值求角，意在考查综合运用所学知识解决问题的能力，是中档题. 【例2】【山东、湖北部分重点中学2018年高考冲刺模拟试卷（二）】正项等比数列{an}中，a3,a4 A． 6 B． 16 C． 32 D． 64 【答案】D 【例3】若S1＝eq \a\vs4\al(\i\in(1,2,))x2dx，S2＝eq \a\vs4\al(\i\in(1,2,))eq \f(1,x)dx，S3＝eq \a\vs4\al(\i\in(1,2,))exdx，则S1，S2，S3的大小关系为(　　) A．S1<S2<S3 B．S2<S1<S3 C．S2<S3<S1 D．S3<S2<S1 【答案】B 【解析】S1＝eq \f(1,3)x3eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(,,,))eq \o\al(2,1)＝eq \f(8,3)－eq \f(1,3)＝eq \f(7,3)，S2＝lnxeq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(,,,))eq \o\al(2,1)＝ln2<lne＝1，S3＝exeq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(,,,))eq \o\al(2,1)＝e2－e≈2.72－2.7＝4.59，所以S2<S1<S3. 类型二、利用定积分求曲边梯形的面积 【例4】【河南省巩义市市直高中2018届高三下学期模拟考试】用S表示图中阴影部分的面积，则S的值是（ ） A． acf(x)dx C． abf(x)dx+ 【答案】D 【例5】【安徽省江南十校2018届高三冲刺联考（二模）】直线l过抛物线E：y2=8x的焦点且与x轴垂直，则直线l与E A． 13 B． 113 C． 323 【答案】C 【解析】分析：先作出直线和抛物线围成的平面区域，再利用定积分的几何意义进行求解． 详解：由题意，得直线l的方程为x=2， 将y2=8x化为 类型三、定