名师精讲与专题突破：专题23+利用正（余）弦定理破解解三角形问题-备战高考高三数学一轮热点难点.docVIP

考纲要求: 1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. 2.会利用三角形的面积公式解决几何计算问题. 基础知识回顾: 1.eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R，其中R是三角形外接圆的半径． 由正弦定理可以变形：(1) a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；(2) a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C. 2．余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C． 变形：cos A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)，cos B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)，cos C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab). 3.在△ABC中，已知a，b和A解三角形时，解的情况 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＜bsinA a＝bsinA bsinA＜a＜b a≥b a＞b a≤b 解的 个数 无解 一解 两解 一解 一解 无解 4.三角形常用的面积公式 (1)S＝eq \f(1,2)a·ha(ha表示a边上的高)．(2)S＝eq \f(1,2)absinC＝eq \f(1,2)acsinB＝eq \f(1,2)bcsinA＝eq \f(abc,4R). (3)S＝eq \f(1,2)r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)． 应用举例: 类型一、利用正（余）弦定理解三角形 【例1】【河北省唐山一中2018届高三下学期强化提升考试（一）】已知中，∠B=60 （1）若CD=2 （2）求ΔABC的周长的取值范围． 【答案】（1）423； (2)△ABC中，利用正弦定理得：ABsin 所以：BC=4 由于：0<A<120 则：l△ABC =22+4 由于：0<A<120°，则： 得到：sin(A+ 所以的周长的范围是：. 【点睛】 本题考查了用正弦定理、余弦定理解三角形，尤其在求三角形周长时解题方法是利用正弦定理将边长转化为角的问题，然后利用辅助角公式进行化简，求出范围，一定要掌握解题方法。 【例2】【河北省衡水中学2018届高三考前适应性训练】已知在中，所对的边分别为，2sin （1）求的大小； （2）若sinAsin 【答案】（1）B=π3 （2）∵sinA 又由余弦定理得，∴ 当时，则a2 当时，则， ∴，Δ=( 综上所述，当且仅当B=π3 【点睛】 解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是： 第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果. 类型二、利用正（余）弦定理判断三角形形状 【例3】在中，，. （1）求证：是直角三角形； （2）若点在边上，且，求． 【答案】（1）见解析；（2） （2）设，则sinα= 所以sin∠DAC= 在中，∠ADC=180°-∠DAC-C=180°-(90°-α)-60°=α+30°， = =2 由正弦定理得，， 所以CD= 【点睛】 本题主要考查的知识点是运用正弦定理和余弦定理解三角形，注意角之间的表示，本题需要一定的计算 【例4】【浙江省“七彩阳光”联盟2019届高三期初联考】在ΔABC中，角所对的边分别为，已知且c （1）判断的形状； （2）若C=π 【答案】（1）见解析；（2） （2）由（1）知，，则， 因为，所以由余弦定理，得， 解得a2 所以的面积． 【点睛】 本题运用正弦定理、余弦定理和三角形面积公式解三角形，注意在运算过程中作为隐含的条件成立并且加以运用。 类型三、利用正（余）弦定理解决与三角形面积有关的问题 【例5】【云南省红河州2018届高三复习统一检测】在中,角,,的对边分别为.已知,bsin (1)求角； (2)若，求的面积． 【答案】(1)58 （2）由（1）得, 因为得 , 同理得, 所以的面积 . 【点睛】 本题考查三角形的解法，正弦定理的应用，两角和与差的三角函数的应用，考查计算能力． 【例6】【黑龙江省2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟（八）】在中，角，，的对边分别是，，，若ccosA，， （1）求； （2）若，b=3 【答案】(1)；(2). 又，∴， 即. 而，∴，由，得. 方法、规律归纳: 1.三角形中常见的结论 (1)A＋B＋C＝π. (2)在△ABC中，A＞B?a＞b?sinA＞sinB?cosA＜cosB. (3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (4)三角形内的诱导公式：sin(A＋B)＝