名师精讲与专题突破：专题15+导数法妙解不等式、函数零点、方程根的问题-备战高考高三数学一轮热点难点.doc

考纲要求: 1.导数在不等式中的应用问题是每年高考的必考内容，且以解答题的形式考查，难度较大，属中高档题． 常见的命题角度有：(1)证明不等式；(2)不等式恒成立问题；(3)存在型不等式成立问题． 2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(对多项式函数不超 过三次). 3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(对多项式函数不超过三次)． 基础知识回顾: 1、求函数的极值 （1）设函数在及其附近有定义，如果的值比附近所有各点的值都大（小），则称是函数的一个极大（小）值。 （2）求函数的极值的一般步骤 先求定义域,再求导，再解方程（注意和求交集），最后列表确定极值。 一般地，函数在点连续时，如果附近左侧>0，右侧<0，那么是极大值。一般地，函数在点连续时，如果附近左侧<0，右侧>0，那么是极小值。 （3）极值是一个局部概念。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。 （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。 （5）一般地，连续函数在点处有极值是=0的充分非必要条件。 （6）求函数的极值一定要列表。 2、用导数求函数的最值 （1）设是定义在闭区间上的函数，在内有导数，可以这样求最值： ①求出函数在内的可能极值点（即方程在内的根）； ②比较函数值，与，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. （2）如果是开区间，则必须通过求导，求函数的单调区间，最后确定函数的最值。 应用举例 类型一、利用导数解决不等式恒成立问题 【例1】【江西省南昌市2017-2018学年度高三第二轮复习测试卷（六）】已知函数（），． （Ⅰ）求函数的最大值； （Ⅱ）当时，求证：对任意x∈0,1 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）证明见解析. 【详解】 （Ⅰ）因为g'(x)=1-x 当x∈(-∞,1)时，g' 当时，，即在区间为减函数 所以g （Ⅱ）f'(x)=ex 又因为a∈(0,1e)，存在x0 当x∈(0,x0)时，f'(x)<0 即在x0,1 所以f(x)min 又因为x0-ae 令φ(x)=e 当时，，即φ(x)在为减函数， 【点睛】 本题考查了导函数在函数中的综合应用，利用导数判断函数的单调性，并证明不等式，综合性强，对思维能力要求高，属于高考中的压轴题，属于难题。 类型二、利用导数解决存在型不等式成立问题 【例2】【广东省深圳市2018届高考模拟测试二】已知向量，，（为常数， 是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴垂直,． （Ⅰ）求的值及的单调区间； （Ⅱ）已知函数(为正实数),若对于任意，总存在， 使得，求实数的取值范围． 【答案】（Ⅰ），F(x)的增区间为，减区间为 （Ⅱ）0<a<1+ 由F'(x)=- 由F 的增区间为，减区间为 （II）对于任意，总存在， 使得g(x2)<F(x 由（I）知，当时，取得最大值F(1 对于，其对称轴为 当时，g(x)max=g(a)=a2 当时，， 2a-1<1+1 综上可知： 类型三、利用导数证明不等式 【例3】【江西省南昌市2017-2018学年度高三第二轮复习测试卷（八）】已知函数，斜率为的直线过点，其中. （Ⅰ）若函数的图象恒在直线的上方（点除外），求的值； （Ⅱ）证明：e+e 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）证明见解析． 【解析】 【分析】 （1）构造函数，求导得由于，所以最小值必为单调性说明其它情况不满足题意，（2）当时，ex （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）当时， 所以，即ex 累加得：e+e 即e+e 【点睛】 对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 类型四、利用导数研究方程的根或函数的零点 【例4】【湖北省武汉市2018届高中毕业生四月调研测试】已知函数f(x)=xex （1）当时，求的单调区间； （2）若有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； （2）记t=lnx+x，通过讨论a的范围，结合函数的单调性以及函数的零点的个数判断a的范围即可． ①在时，在上单增，且，故无零点；②在a<0时，在上单增，又，，故g(t)在上只有一个零点； ③在a>0时，由可知在时有唯一的一个极小值. 若，，无零点；若，，只有一个零点；若a>e时，，而g(0)=1>0，由于在时为减函数，可知：时，.从而