高考数学一轮复习学案+训练+课件（北师大版文科）： 第7章 立体几何初步 第3节 空间图形的基本关系与公理学案 文 北师大版.docVIP

第三节　空间图形的基本关系与公理 [考纲传真]　1.理解空间直线、平面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题． (对应学生用书第98页) [基础知识填充] 1．空间图形的公理 (1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)． (2)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)． (3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线． (4)公理4：平行于同一条直线的两条直线平行． 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． (5)等角定理 空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 2．空间点、直线、平面之间的位置关系 直线与直线 直线与平面 平面与平面 平行关系 图形语言 符号语言 a∥b a∥α α∥β 相交关系 图形语言 符号语言 a∩b＝A a∩α＝A α∩β＝l 独有关系 图形语言 符号语言 a，b是异面直线 aα 3. 异面直线所成的角 (1)定义：过空间任意一点P分别引两条异面直线a，b的平行线l1，l2(a∥l1，b∥l2)，这两条相交直线所成的锐角(或直角)就是异面直线a，b所成的角． (2)范围：eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))). [知识拓展] 异面直线的判定定理 经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线． [基本能力自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．(　　) (2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．(　　) (3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．(　　) (4)若直线a不平行于平面α，且aα，则α内的所有直线与a异面．(　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 2．(教材改编)如图7-3-1所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与 图7-3-1 A．30°　　　　 B．45° C．60° D．90° C　[连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C为所求的角，又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D 3．在下列命题中，不是公理的是(　　) A．平行于同一个平面的两个平面相互平行 B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此 平面内 D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的 公共直线 A　[A不是公理，是个常用的结论，需经过推理论证；B，C，D是平面的基本性质公理．] 4．(2016·山东高考)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　[由题意知aα，bβ，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选A．] 5．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是________． b与α相交或bα或b∥α (对应学生用书第99页) 空间图形的公理及应用 　(1)以下命题中，正确命题的个数是(　　) ①不共面的四点中，其中任意三点不共线； ②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面； ③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面； ④依次首尾相接的四条线段必共面． A．0　　　　 B．1　　　　 C．2　　　　 D．3 (2)如图7-3-2，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1 图7-3-2 ①E，C，D1，F四点共面； ②CE，D1F，DA B　[(1)①中若有三点共线，则四点共面，不合题意，故①正确；②中若点A，B，C在同一条直线上，则A，B，C，D，E不一定共面，故②错误；③中，直线b，c可能是异面直线，故③错误；④中，当四条线段构成空间四边形时，四条线段不共面，故④错误．] (2)①如图，连接EF，CD1，A1B． ∵E，F分别是AB，