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第一节 平面向量的概念及线性运算
[考纲传真] (教师用书独具)1.了解向量的实际背景,理解平面向量的概念和两个向量相等的含义,理解向量的几何表示.2.掌握向量加法、减法的运算,理解其几何意义.3.掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义.4.了解向量线性运算的性质及其几何意义.
(对应学生用书第69页)
[基础知识填充]
1.向量的有关概念
(1)向量:既有大小又有方向的量叫作向量,向量的大小叫作向量的长度(或模).
(2)零向量:长度为0的向量,其方向是任意的.
(3)单位向量:长度等于1个单位的向量.
(4)平行向量:方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量.规定:0与任一向量平行.
(5)相等向量:长度相等且方向相同的向量.
(6)相反向量:长度相等且方向相反的向量.
2.向量的线性运算
向量
运算
定义
法则
(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
三角形法则 平行四边形法则
(1)交换律:
a+b=b+a;
(2)结合律:
(a+b)+c=a+(b+c)
减法
求两个向量差的运算
三角形法则
a-b=a+(-b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
(1)|λa|=|λ||a|;
(2)当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反;当λ=0时,λa=0
λ(μ a)=(λμ) a;
(λ+μ)a=λa+μ a;
λ(a+b)=λa+λb
3.共线向量定理
a是一个非零向量,若存在一个实数λ,使得b=λa,则向量b与a共线.
[知识拓展]
1.若P为线段AB的中点,O为平面内任一点,则eq \o(OP,\s\up7(→))=eq \f(1,2)(eq \o(OA,\s\up7(→))+eq \o(OB,\s\up7(→))).
2.eq \o(OA,\s\up7(→))=λeq \o(OB,\s\up7(→))+μeq \o(OC,\s\up7(→))(λ,μ为实数),若点A,B,C共线,则λ+μ=1.
[基本能力自测]
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小.( )
(2)eq \o(BA,\s\up7(→))=eq \o(OA,\s\up7(→))-eq \o(OB,\s\up7(→)).( )
(3)向量eq \o(AB,\s\up7(→))与向量eq \o(CD,\s\up7(→))是共线向量,则A,B,C,D四点在一条直线上.( )
(4)已知a,b是两个非零向量,当a,b共线时,一定有b=λa(λ为常数),反之也成立.( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√
2.在四边形ABCD中,eq \o(AB,\s\up7(→))=eq \o(DC,\s\up7(→)),且|eq \o(AB,\s\up7(→))|=|eq \o(BC,\s\up7(→))|,那么四边形ABCD为( )
A.平行四边形 B.菱形
C.长方形 D.正方形
B [eq \o(AB,\s\up7(→))=eq \o(DC,\s\up7(→)),则四边形ABCD为平行四边形.又|eq \o(AB,\s\up7(→))|=|eq \o(BC,\s\up7(→))|,则四边形ABCD为菱形,故选B.]
3.D是△ABC的边AB的中点,则向量eq \o(CD,\s\up7(→))等于( )
A.-eq \o(BC,\s\up7(→))+eq \f(1,2)eq \o(BA,\s\up7(→)) B.-eq \o(BC,\s\up7(→))-eq \f(1,2)eq \o(BA,\s\up7(→))
C.eq \o(BC,\s\up7(→))-eq \f(1,2)eq \o(BA,\s\up7(→)) D.eq \o(BC,\s\up7(→))+eq \f(1,2)eq \o(BA,\s\up7(→))
A [如图,
eq \o(CD,\s\up7(→))=eq \o(CB,\s\up7(→))+eq \o(BD,\s\up7(→))=eq \o(CB,\s\up7(→))+eq \f(1,2)eq \o(BA,\s\up7(→))
=-eq \o(BC,\s\up7(→))+eq \f(1,2)eq \o(BA,\s\up7(→)).]
4.(教材改编)已知?ABCD的对角线AC和BD相交于点O,且eq \o(OA,\s\up7(→))=a,eq \o(OB,\s\up7(→))=b,则eq \o(DC,\s\up7(→))=________,eq \o(BC,\s\up7(→))=________(用a,b表示).
b-a -a-b [如图,eq \o(DC,\s
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