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高考解答题的审题与答题示范(二)
数列类解答题
[思维流程]
,[审题方法]——审结构
结构是数学问题的搭配形式,某些问题已知的数式结构中常常隐含着某种特殊的关系.审视结构要对结构进行分析、加工和转化,以实现解题突破.
典例
(本题满分12分)(2017·高考全国卷Ⅲ)设数列{an}满足a1+3a2+…+(2n-1)an=2n.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,2n+1)))的前n项和.
审题路线
(1)eq \x(a1+3a2+…+(2n-1)an=2n)eq \o(――→,\s\up7(观察等式结构),\s\do5((2n-1)an))eq \x(数列{(2n-1)an}的前n项和)―→eq \x(利用通项与前n项和的关系求解)
(2)eq \x(由(1)知an=\f(2,2n-1))―→eq \f(an,2n+1)=eq \f(2,(2n+1)(2n-1))eq \o(――→,\s\up7(分析分式的结构),\s\do5(适合裂项求和))eq \f(2,(2n+1)(2n-1))=eq \f(1,2n-1)-eq \f(1,2n+1)―→eq \x(裂项求和)
标准答案
阅卷现场
(1)因为a1+3a2+…+(2n-1)an=2n,故当n≥2时,a1+3a2+…+(2n-3)an-1=2(n-1).①
两式相减得(2n-1)an=2.
所以an=eq \f(2,2n-1)(n≥2)求通项.②
又由题设可得a1=2,适合an=eq \f(2,2n-1).③
从而{an}的通项公式an=eq \f(2,2n-1)(n∈N*).④
(2)记eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,2n+1)))的前n项和为Sn.
由(1)知eq \f(an,2n+1)=eq \f(2,(2n+1)(2n-1))=eq \f(1,2n-1)-eq \f(1,2n+1)裂项求和.⑤
则Sn=eq \f(1,1)-eq \f(1,3)+eq \f(1,3)-eq \f(1,5)+…+eq \f(1,2n-1)-eq \f(1,2n+1)=eq \f(2n,2n+1).
⑥
第(1)问
第(2)问
得分点
②
③
④
⑤
⑥
2
1
1
2
3
3
6分
6分
第(1)问踩点得分说明
①写出n≥2时的递推关系式得2分.
②求得n≥2时的{an}的通项公式得1分.
③验证a1,得1分.
④写出通项公式得2分.
第(2)问踩点得分说明
⑤将eq \f(an,2n+1)裂项得3分.
⑥利用裂项求和得3分.
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