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§7.2 一元二次不等式及其解法
2014高考会这样考 1.考查一元二次不等式的解法及其“三个二次”间的关系问题;2.会从实际情景中抽象出一元二次不等式模型;3.以函数、导数为载体,考查不等式的参数范围问题.
复习备考要这样做 1.结合二次函数的图象,理解“三个二次”的关系,掌握二次不等式的解法;2.理解简单的分式不等式、高次不等式的解法,和函数单调性结合解一些指数不等式、对数不等式.
1. 一元二次不等式的解法
(1)将不等式的右边化为零,左边化为二次项系数大于零的不等式ax2+bx+c>0 (a>0)或ax2+bx+c<0 (a>0).
(2)求出相应的一元二次方程的根.
(3)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集.
2. 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表:
判别式Δ=b2-4
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数y=ax2+bx+c (a>0)的图象
一元二次方程ax2+bx+c=0 (a>0)的根
有两相异实根x1,x2(x1<x2)
有两相等实根x1=x2=-eq \f(b,2a)
没有实数根
ax2+bx+c>0 (a>0)的解集
{x|x<x1或x>x2}
{x|x≠x1}
{x|x∈R}
ax2+bx+c<0 (a>0)的解集
{x|x1< x<x2}
?
?
[难点正本 疑点清源]
1. 一元二次不等式的解集及解集的确定
一元二次不等式ax2+bx+c<0 (a≠0)的解集的确定受a的符号、b2-4ac的符号的影响,且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系,可结合相应的函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象,数形结合求得不等式的解集
若一元二次不等式经过不等式的同解变形后,化为ax2+bx+c>0(或<0)(其中a>0)的形式,其对应的方程ax2+bx+c=0有两个不等实根x1,x2(x1<x2) (此时Δ=b2-4ac>0),则可根据“大于取两边,小于夹中间”求解集
2. 解含参数的一元二次不等式,可先考虑因式分解,再对根的大小进行分类讨论;若不能因式分解,则可对判别式进行分类讨论,分类要不重不漏.
1. 不等式x2<1的解集为________.
答案 {x|-1<x<1}
解析 x2<1,则-1<x<1,
∴不等式的解集为{x|-1<x<1}.
2. 函数y=eq \r(x2+x-12)的定义域是____________.
答案 (-∞,-4]∪[3,+∞)
解析 由x2+x-12≥0得(x-3)(x+4)≥0,
∴x≤-4或x≥3.
3. 已知不等式x2-2x+k2-1>0对一切实数x恒成立,则实数k的取值范围为__________.
答案 (-∞,-eq \r(2))∪(eq \r(2),+∞)
解析 由题意,知Δ=4-4×1×(k2-1)<0,
即k2>2,∴k>eq \r(2)或k<-eq \r(2).
4. (2012·重庆)不等式eq \f(x-1,2x+1)≤0的解集为 ( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(1,2),1)) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(1,2),1))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-∞,-\f(1,2)))∪[1,+∞) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(-∞,-\f(1,2)))∪[1,+∞)
答案 A
解析 eq \f(x-1,2x+1)≤0等价于不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x-1≤0,,2x+1>0,))①
或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x-1≥0,,2x+1<0.))②
解①得-eq \f(1,2)<x≤1,解②得x∈?,
∴原不等式的解集为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(1,2),1)).
5.若不等式ax2+bx-2<0的解集为{x|-2<x<eq \f(1,4)},则ab等于( )
A.-28 B.-26 C.28 D.
答案 C
解析 由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(-2+\f(1,4)=-\f(b,a),-2×\f(1,4)=-\f(2,a))),
∴a=4,b=7,∴ab=28.
题型一 一元二次不等式的解法
例1 已知不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b}.
(1)求a,b的值;
(2)解不等式ax2-(ac+b)x+bc<0.
思维启迪:(1)先化简不等式为标准形式,再依据解集确定a的符号,然后利用根与系数的关系列出a,b的方
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