2022版高考人教版数学一轮学案：第四章第二讲　平面向量的基本定理及坐标表示含解析.docVIP

第二讲　平面向量的基本定理及坐标表示 知识梳理·双基自测 eq \x(知)eq \x(识)eq \x(梳)eq \x(理) 知识点一　平面向量的基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个__不共线__向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a＝__λ1e1＋λ2e2__. 知识点二　平面向量的坐标表示 在直角坐标系内，分别取与__x轴，y轴正方向相同__的两个单位向量i，j作为基底，对任一向量a，有唯一一对实数x，y，使得：a＝xi＋yj，__(x，y)__叫做向量a的直角坐标，记作a＝(x，y)，显然i＝__(1,0)__，j＝(0,1)，0＝__(0,0)__. 知识点三　平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝__(x1＋x2，y1＋y2)__，a－b＝__(x1－x2，y1－y2)__，λa＝__(λx1，λy1)__，|a|＝__eq \r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))__. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \o(AB,\s\up6(→))＝__(x2－x1，y2－y1)__，|eq \o(AB,\s\up6(→))|＝__eq \r(?x2－x1?2＋?y2－y1?2)__. 知识点四　向量共线的坐标表示 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b?__x1y2－x2y1＝0__. eq \x(归)eq \x(纳)eq \x(拓)eq \x(展) 两个向量作为基底的条件：作为基底的两个向量必须是不共线的．平面向量的基底可以有无穷多组． eq \x(双)eq \x(基)eq \x(自)eq \x(测) 题组一　走出误区 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内的任意两个向量都可以作为一组基底．(　×　) (2)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　√　) (3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2).(　×　) (4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．(　√　) (5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．(　√　) 题组二　走进教材 2．(必修4P100T2改编)(2021·北京十五中模拟)如果向量a＝(1,2)，b＝(4,3)，那么a－2b＝(　B　) A．(9,8) B．(－7，－4) C．(7,4) D．(－9，－8) [解析]　a－2b＝(1,2)－(8,6)＝(－7，－4)，故选B． 3．(必修4P101A组T5改编)下列各组向量中，可以作为基底的是(　B　) A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2) B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7) C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10) D．e1＝(2，－3)，e2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(3,4))) [解析]　A选项中，零向量与任意向量都共线，故其不可以作为基底；B选项中，不存在实数λ，使得e1＝λe2.故两向量不共线，故其可以作为基底；C选项中，e2＝2e1，两向量共线，故其不可以作为基底；D选项中，e1＝4e2，两向量共线，故其不可以作为基底．故选B． 题组三　走向高考 4．(2015·新课标全国Ⅰ)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量eq \o(AC,\s\up6(→))＝(－4，－3)，则向量eq \o(BC,\s\up6(→))＝(　A　) A．(－7，－4) B．(7,4) C．(－1,4) D．(1,4) [解析]　设C(x，y)，∵A(0,1)，eq \o(AC,\s\up6(→))＝(－4，－3)， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－4，,y－1＝－3，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－4，,y＝－2，)) ∴C(－4，－2)，又B(3,2)， ∴eq \o(BC,\s\up6(→))＝(－7，－4)，选A． 5．(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝__eq \f(1,2)__. [解析]　由题意得2a＋b＝(4,2)，因为c∥(2a＋b)，c＝(1，λ)，所以4λ＝2，得λ＝eq \f(1,2). 6．(2015·北京)在△ABC中，点M，N满足eq \o(AM,\s\up6(→))＝2eq \o(MC,\s\up6(→))，eq \o(BN