高考数学一轮复习学案（北师大版理科）： 第6章 不等式、推理与证明 第5节 综合法、分析法、反证法学案 理 北师大版.docVIP

第五节　综合法、分析法、反证法 [考纲传真]　(教师用书独具)1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点；2.了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程和特点． (对应学生用书第101页) [基础知识填充] 1．综合法、分析法 内容 综合法 分析法 定义 从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明．我们把这样的思维方法称为综合法 从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等．我们把这样的思维方法称为分析法 实质 由因导果 执果索因 框图表示 eq \x(P?Q1)→eq \x(Q1?Q2)→…→eq \x(Qn?Q) eq \x(Q?P1)→eq \x(P1?P2)→…→eq \x(\a\al(得到一个明显,成立的条件)) 文字语言 因为……所以……或由……得…… 要证……只需证……即证…… 2.反证法 (1)反证法的定义：在假定命题结论的反面成立的前提下，经过推理，若推出的结果与定义、公理、定理矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题结论成立的方法叫反证法． (2)反证法的证题步骤： ①作出否定结论的假设；②进行推理，导出矛盾；③否定假设，肯定结论． [基本能力自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．(　　) (2)用反证法证明结论“a＞b”时，应假设“a＜b”．(　　) (3)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．(　　) (4)在解决问题时，常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．用分析法证明时出现：欲使①A＞B，只需②C＜D，这里①是②的(　　) A．充分条件　　　 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 B　[由题意可知②?①，故①是②的必要条件．] 3．用反证法证明命题：“已知a，b为实数，则方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是(　　) A．方程x2＋ax＋b＝0没有实根 B．方程x2＋ax＋b＝0至多有一个实根 C．方程x2＋ax＋b＝0至多有两个实根 D．方程x2＋ax＋b＝0恰好有两个实根 A　[“方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”的反面是“方程x2＋ax＋b＝0没有实根”，故选A.] 4．设a，b，c都是正数，则a＋eq \f(1,b)，b＋eq \f(1,c)，c＋eq \f(1,a)三个数(　　) A．都大于2 B．都小于2 C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2 D　[∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,b)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,c)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c＋\f(1,a))) ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,b)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c＋\f(1,c)))≥6， 当且仅当a＝b＝c时取等号， ∴三个数中至少有一个不小于2.] 5．(教材改编)在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，则△ABC的形状为__________三角形． 等边　[由题意2B＝A＋C， 又A＋B＋C＝π，∴B＝eq \f(π,3)，又b2＝ac， 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac， ∴a2＋c2－2ac＝0，即(a－c)2＝0，∴a＝c ∴A＝C，∴A＝B＝C＝eq \f(π,3)， ∴△ABC为等边三角形．] (对应学生用书第102页) 综合法 　(2017·江苏高考)对于给定的正整数k，若数列{an}满足：an－k＋an－k＋1＋…＋an－1＋an＋1＋…＋an＋k－1＋an＋k＝2kan，对任意正整数n(n>k)总成立，则称数列{an}是“P(k)数列”． (1)证明：等差数列{an}是“P(3)数列”； (2)若数列{an}既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，证明：{an}是等差数列． [证明]　(1)因为{an}是等差数列，设其公差为d，则 an＝a1＋(n－1)d， 从而，当n≥4时， an－k＋an＋k＝a1＋(n－k－1)