高三数学一轮（北师大版）基础巩固：第8章 第6节 空间直角坐标系(文).docVIP

第八章　第六节 一、选择题 1．已知A(2,5，－6)，点P在y轴上，|PA|＝7，则点P的坐标是(　　) A．(0,8,0)　　　　　 B．(0,2,0) C．(0,8,0)或(0,2,0) D．(0，－8,0) [答案]　C [解析]　点P在y轴上，可设为(0，y,0)， 因为|PA|＝7，A(2,5，－6)， 所以eq \r(22＋?y－5?2＋62)＝7，解得y＝2或8. 2．在空间直角坐标系中，所有点P(x,1,2)(x∈R)的集合表示(　　) A．一条直线 B．平行于平面xOy的平面 C．平行于平面xOz的平面 D．两条直线 [答案]　A [解析]　点P的y坐标与z坐标不变，只有x坐标发生变化，在空间中表示一条直线． 3．(2014·郑州模拟)A(－3,1,5)，B(4,3,1)的中点坐标是(　　) A．(eq \f(1,2)，1，－2) B．(eq \f(1,2)，2,3) C．(－12,3,5) D．(eq \f(1,2)，3,2) [答案]　B [解析]　设中点坐标为(x，y，z)， 则x＝eq \f(－3＋4,2)＝eq \f(1,2)，y＝eq \f(1＋3,2)＝2，z＝eq \f(5＋1,2)＝3， 即中点坐标为(eq \f(1,2)，2,3)． 4．在空间直角坐标系中，已知点P(x，y，z)，给出下列四条叙述： ①点P关于x轴的对称点的坐标是(x，－y，z)； ②点P关于yOz平面的对称点的坐标是(x，－y，－z)； ③点P关于y轴的对称点的坐标是(x，－y，z)； ④点P关于原点的对称点的坐标是(－x，－y，－z)． 其中正确的个数是(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 [答案]　C [解析]　①②③不正确；类比平面直角坐标系中的对称问题，易知④正确． 5．在空间直角坐标系中，点P(1,2,3)关于x轴对称的点的坐标为(　　) A．(－1,2,3) B．(1，－2，－3) C．(－1，－2,3) D．(－1,2，－3) [答案]　B [解析]　关于x轴对称的两点的横坐标相等，纵坐标、竖坐标分别互为相反数． 6．点M(x，y，z)在坐标平面xOy内的射影为M1，M1在坐标平面yOz内的射影为M2，M2在坐标平面zOx内的射影的坐标为(　　) A．(－x，－y，－z) B．(x，y，z) C．(0,0,0) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y＋z,3)，\f(x＋y＋z,3)，\f(x＋y＋z,3))) [答案]　C [解析]　点M(x，y，z)在平面xOy内的射影为M1(x，y,0)，M1在平面yOz内的射影为M2(0，y,0)，M2在平面xOz内的射影为原点O(0,0,0)． 二、填空题 7．已知点P在z轴上，且满足|OP|＝1(O为坐标原点)，则点P到点A(1,1,1)的距离为________． [答案]　eq \r(2)或eq \r(6) [解析]　设点P的坐标为(0,0，z)， 由|OP|＝1得eq \r(z2)＝|z|＝1，故z＝±1. 当z＝1时，点P的坐标为(0,0,1)， |PA|＝eq \r(?0－1?2＋?0－1?2＋?1－1?2)＝eq \r(2)； 当z＝－1时，点P的坐标为(0,0，－1)， |PA|＝eq \r(?0－1?2＋?0－1?2＋?－1－1?2)＝eq \r(6). 8．在z轴上求一点A，使它到点B(1,1,2)的距离为3eq \r(2)，则A点的坐标是______________． [答案]　(0,0,6)或(0,0，－2) [解析]　设A(0,0，a)， 则|AB|＝eq \r(?1－0?2＋?1－0?2＋?2－a?2)＝3eq \r(2)， 即(a－2)2＝16，∴a＝6或a＝－2， ∴A(0,0,6)或(0,0，－2)． 9．已知A(3,5，－7)和点B(－2,4,3)，则线段AB在坐标平面yOz上的射影的长度为________． [答案]　eq \r(101) [解析]　求线段AB在坐标平面yOz上的射影长，可先求A、B两点在yOz上的射影，然后再用两点间距离公式， A(3,5，－7)在yOz上的射影是A′(0,5，－7)， B(－2，4,3)在yOz上的射影是B′(0,4,3)， 故|A′B′|＝eq \r(?0－0?2＋?5－4?2＋?－7－3?2)＝eq \r(101). 三、解答题 10．在空间直角坐标系中，已知A(3,0,1)和B(1,0，－3)，试问： (1)在y轴上是否存在点M，满足|MA|＝|MB|? (2)在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，试求出点M的坐标． [解析]　(1)假设在y轴上存在点M，满足|MA|＝|MB|. 因为M在y轴上，所以可设M(0，y,0)，由