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课题名称:8.3平面向量的分解定理(第一课时)
课型:新授课
一、教学目标
1.理解和掌握平面向量的分解定理;
2.掌握平面内任一向量都可以用两个不平行向量来表示;掌握基的概念,并能够用基表示平面内的向量;
3.根据学生已有的物理知识经验,在熟悉的问题情景中,体会研究向量分解的必要性.
4.经历平面向量分解定理的探求过程,培养观察能力、抽象概括能力、体会化归思想.
二、教学重点及难点 :
1. 教学重点:平面向量分解定理的发现和形成过程;
2. 教学难点:分解唯一性的说明.
三、教学用具准备
电脑,活动单,互动课堂等.
四、教学过程设计
(一)旧知回顾
前面我们学习了向量的加减法及数乘运算,请同学回答黑板上的题目.
1.如图,在平行四边形ABCD中,记,则,
2.两非零向量平行的充要条件:____________________
展示“活动一”,体会向量的合成.
(二)设置情景,引入课题
1.观察
前面我们学过向量的加法,知道两个向量可以合成一个向量,反过来,一个向量是否可以分解成两个向量呢?
下面让我们来看一个实例:
实例:一盏电灯,可以由电线CO吊在天花板上,也可以由电线OA和绳BO拉住.CO所受的力F与电灯重力平衡,拉力F可以分解为AO与BO所受的拉力F1和 F2 .
思考:从这个实例我们看到了什么?
答:一个向量可以分成两个不同方向的向量.
(三)探索探究,主动建构
概括讨论,提出新问题:
如果向量是同一平面内的两个不平行的向量,是该平面内的一个非零向量,是否能用向量表示向量?
数学实验1
1.实验设计:
(1)实验目的:通过实验让学生探究:给定平面内的两个不平行向量,对于给定的非零向量是否能分解成方向上的两个向量,且分解是否是唯一的?
(2)实验报告:(由学生发言)分解步骤,得到结论可以分解,且分解的长度和方向唯一的.
师:既然可以分解并且是唯一的,能不能用数学式子把和的关系表示出来?
生:是不平行向量,是平面内给定的向量,在平面内任取一点O
(1)作,;
(2)过C作平行于直线OB的平行线与直线OA相交于点M;
(3)过C作平行于直线OA的平行线与直线OB相交于点N;
(4)四边形OMCN为平行四边形,由向量平行的充要条件可知存在实数,使得,则.
2.探究结果?
几何角度:平面内的任一向量都可以表示为给定的两个不平行向量的线性组合,即,且分解是唯一的.
代数角度:说明唯一性:
证明:
3.概括得出定理:
平面向量分解定理:如果是同一平面内的两个不平行向量,那么对于这一平面内的任意向量,有且只有一对实数,使_______________.
我们把不平行的向量叫做这一平面内所有向量的一组基.
4.定理理解
请学生讨论后回答下列问题.
向量能否是零向量?
不能
(2).什么样的两个向量可以作为基?
不平行
(3)一个平面有几组基?
无数组
(4)已知是平面内的两个不平行向量
①若,则
②若,则 .
(帮助学生更好理解定理)
5.定理应用
学生完成“活动二”,展示同学画图结果.
(通过“活动二”,学生的动手作图能力得到提高,更好地理解定理)
(四)例题分析
例1(教材P66.例2)如图:平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M,且 ,分别用 表示.
解: 在平行四边形ABCD中,
,
注:(1)把作为一组基,用向量表示平面内的任何一个向量
(2)平行四边形法则简化为三角形法则.
练习:学生完成活动单“变式”,一名学生板演.
思考:由例1和变式思考平行四边形ABCD中还有哪些线段可以作为一组基?哪些线段不可以作为一组基?为什么?
(五)课堂小结:
1.平面向量的分解定理. 对分解定理的理解:平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示. 这是应用向量解决实际问题的重要思想方法.
2.从基的角度认识几何图形,能够在具体问题中适当的选取基,使其它向量都能够统一用这组基来表达.
(六)作业布置
1.练习部分 8.3
2.预习课本例3,并思考:
如下图,O是直线AB外一点,由平面向量分解定理得,
满足什么条件时,A、B、P三点共线?
五、教学设计说明
本课主要是平面向量的分解定理及简单的应用.?
在课堂设计上做一种新的尝试,把数学实验带入课堂,让学生通过实验探究定理的内容.课堂组织形式比较新颖,引起学生的学习兴趣,激发学生的求知欲,学生们积极的参与了整堂课的学习过程.?
通过实验的制作,培养了学生的动手作图能力,通过学生对实验结果的讨论,培养学生的抽象概括能力,语言表达能力.?
学生在原有知识的基础上,自主建构自己新的知识结构,充分体现了学生为主体,教学为主导的建构主义教学观.学生的学习效果很好,基本上掌握分解定理的实质内容,并能把定理的思想应用到具体的
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