数列求和常用的五种方法.doc

数列求和常用的五种方法 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：s“ ="⑷+"”)+巴匸— 2 2呵 (q = 1) 2、 等比数列求和公式：S” =< 5(1-。")_ (yq ((/H1) l_q \_q 91 1 Sn = ^k = -n(n + l) TOC \o "1-5" \h \z 口 1 Sn == —n(n +1)(2/? +1) z 6 ” i 5、 s“=》f=p(" + l)F z 2 例仁已知log3 x =——,求x +疋 +疋+???+**+…的前n项和. 呃3 解：由log3 X =——=> log3 X = -log3 2 => x =丄，由等比数列求和公式得 log 2 3 ■ 2 1-X$”"+，+/+???+严4")=_ 1-X 1 ——2 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种 方法主要用于求数列｛ar b」的前n项和，其中｛心｝、｛bj分别 是等差数列和等比数列. 例2? 求和：Sn =1 + 3兀+ 5宀7宀??? +⑵7-1)严 ① 解：由题可知，｛(2/1-1)^-*｝的通项是等差数列｛2n-1｝的通项与等比 数列｛U的通项之积 当 x = 1H寸， S”=l + 3 + 5 + 7 (2n —1)= _ = n1 2 当X H咐 设 = lx + 3x2 + 5x3 + 7x4 + ? ? ? + (2n - \)xn ② (设制错位) ①—②得(1 一QS“ =l + 2x + 2x2 + 2x3 + 2* + …+ 2x"-｝ -(2n一l)xn (错位相减) 再利用等比数列的求和公式得： 1 _ r/,"1 (1- x)Sn =l + 2x-一:一 -(2/7- \)xn l-x ? 「 (2/2 - l)x/r+l-(2/7 + 1)Z +(1 + X) ??— 例3?已知g>04H1,数列仏｝是首项为a,公比也为a的等比数列， 令 叽=an -lg an ｛n e N),求数列｛bn ｝的前"项和S”。 解析： an = a11 ,bn = n ? a11 lg a :.Sn = (a + 2a2 +3?3 +??? + nan)lga aSn = (a2 + 2a +3/ + - + iia1^)\ga ①一②得:(1 - a)S? = (a + a2 + - +an - nan+l) lg a .?? S = "J t 1 - (1 + 〃 - na)an] o “ (1-d)2L 」 点评：设数列｛"”｝的等比数列，数列｛“｝是等差数列，则数列 ｛也｝ 的前“项和S〃求解，均可用错位相减法。 三、反序相加法求和 这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数 列倒过来排列(反序)，再把它与原数列相加，就可以得到n个側+“”)? 例4.函数兀劝对任意都有/(x) + /(l-x) = io (1)求和 1 " 〃 一 1 /(-)+/(——) TOC \o "1-5" \h \z n n 勺=/(0) + /(-) + /(-) + …+/(—) + /(1),数n n n的值；(2)数列仏｝满足: 列仏｝是 等差数列吗请给与证明。(3 ) bn = 一-一 , Slt = 32 -— 勺=/(0) + /(-) + /(-) + …+/(—) + /(1),数n n n 4an 一 1 n Tn =bf +b22 +…+ bj试比较人与Sn的大小。 解：(1)令x = 可得/(-) + /(-一) = /(-)+ /(1--) = | \o "Current Document" 2 2 4 n n n n 2 (2) a” = /(O) + /(-) + /(-) + …+ /(—) + /(l) n n n >2 — 1 n — 2 2 1 ??? s = /(l) + /(——)+ f(——)+ …+ /(-) + /(—) + /(O) n n n n ??? 2an = /(O) + 于⑴ + /(I) + /(—) + …+ /(l) + /(O) = i(n +1) n n 2 n + \⑶化洛 -16(1 + —…讣 n + \ ⑶化洛 -16(1 + —…讣V6(l+ ' — + — + ???+ 1 ) 1x2 2x3 (n -1) x n = 32~— = Sn n 四、分组法求和 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列 适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再 将其合并即可. 例5?求数列的前ri项和：1 + 1,丄+ 4,丄+ 7,…,—5^ + 3〃-2