概率的定义及其性质.ppt

§1.3 概率的定义及其性质 Henan Polytechnic University 读书患不多，思义患不明。 患足己不学，既学患不行。 §1.3 概率的定义及其性质 ※ 事件的频率 ※ 概率的公理化定义 ※ 概率的性质 研究随机现象的统计规律性的数学学科。 什么是统计规律性? 统计规律性是指在大量试验中呈现出的数量规律。 概率论 一个随机事件在一次试验中发生的可能性大小 的数量指标 刻画 称为该事件的概率。 什么是概率? 如何定义概率? 正面朝上 例：“抛硬币”试验， 将一枚硬币连续抛 次， 记 次试验中 发生的次数 若 是两两不相容事件, 则 频率： 频数： 频率的性质： 频率有没有稳定性？ 试验 序号 1 2 3 4 5 6 7 2 3 1 5 1 2 4 22 25 21 25 24 18 27 251 249 256 247 251 262 258 0.4 0.6 0.2 1.0 0.2 0.4 0.8 0.44 0.50 0.42 0.48 0.36 0.54 0.502 0.498 0.512 0.494 0.524 0.516 0.50 0.502 例：将一枚硬币抛掷 5 次、50 次、500 次, 各做 7 遍, 观察正面出现的次数及频率. 波动较小 波动较大 波动最小 随 n 的增大, 频率 f 呈现出稳定性 0.5005 12012 24000 皮 尔 逊 0.5016 6019 12000 皮 尔 逊 0.5069 2048 4048 蒲 丰 0.5181 1061 2048 德·摩根 实验者 例：高尔顿(Galton)板试验，试验模型如下所示: 　　自上端放入一小球，任其自由下 落，在下落过程中当小球碰到钉子时， 从左边落下与从右边落下的机会相等。 碰到下一排钉子时又是如此。最后落 入底板中的某一格子。因此，任意放入一球，则此球落入哪一个格子，预先难以确定。但是如果放入大量小球，则其最后所呈现的曲线，几乎总是一样的。 单击图形播放/暂停　ESC键退出 请看动画演示 由上述两例可知，频率具有下列特点： 随机波动性—对相同或不同的试验次数，同一事件的频数不一定相同，从而所得的频率也不一定相同，因而无法用频率来度量事件发生的可能性的大小； 频率稳定性—随着试验次数的无限增大，事件的频率逐渐稳定于某个常数，因而可用该常数来度量事件发生的可能性的大小。 我们称这个稳定值 p 为随机 事件 A 的概率。 当试验次数 很大时,事件 的频率 接近 一个稳定值 p ，即有 概率的统计学定义 由于频率的取值是“随机的”，那么极限 是什么意思值得研究 （第五章讨论该问题）。 当试验次数 n 相当大时，可以用频率作为概率的近似值： 事件频率的稳定性通常也称作相应事件发生的统计规律性。 前苏联数学家科尔莫戈罗夫在1933年将频率的三条性质演绎为三条公理，由此可得度量事件发生可能性大小的概率的公理化定义。 在第五章将证明贝努里大数定理: 从理论上保证了利用频率稳定值 量度事件 发生的 可能性大小(概率)的可行性. 当试验次数 很大时,事件 的频率 接近一个常数， 即有 概率的公理化定义 公理1 非负性： 公理2 规范性： 公理3 可列可加性：对两两不相容的事件列 ， 定义：设 是随机试验， 称为事件 都赋予一个实数 ， 是其样本空间， 对 的 如果集合函数 满足下列三条公理： 每一个事件 ， 的概率， 有 概率的性质 性质1： 证明： 设 则 且 由概率的可列可加性得 概率的性质 证明： 设 则 且 由概率的可列可加性得 若 性质2： （有限可加性） 两两互不相容 事件，则有 概率的性质 证明： 由 知， 且 由有限可加性得 设 性质3： 是两个事件， 若 ， 则 ， 且有 从而 故 概率的性质 证明： 由 且 由性质3可得 设 性质4： 是任意两个事件， 则有 概率的性质 证明： 由于 故由性质3， 对任意事件 ， 性质5： 有 证明： 因 故 对任意事件 ， 性质6： 有 且 从而 概率的性质 证明： 因 且 故有 对于任意两个事件 ， 性质7： 有 事件解释为区域 概率解释为区域面积 挖 挖 挖 补 对于任意三个事件 ， 推广1： 有 §1.3 概率的定义及其性质 Henan Polytechnic University * * 由于频率的取值是“随机的”，那么极限是什么意思值得研究 *