2020年高考数学母题题源全揭秘专题04 空间角（山东、海南专版）（原卷版）.docxVIP

专题04 空间角 【母题题文】日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为 A．20° B．40° C．50° D．90° 【答案】B 【试题解析】画出截面图如下图所示，其中是赤道所在平面的截线；是点处的水平面的截线，依题意可知；是晷针所在直线.是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直， 根据平面平行的性质定理可得可知、根据线面垂直的定义可得.. 由于，所以， 由于， 所以，也即晷针与点处的水平面所成角为. 故选：B 【命题意图】 在理解空间线线角、线面角、二面角内在联系的基础上，确定角度的大小． 【命题方向】 以空间几何体为载体考查空间角，考查热点为异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角的求解，向量法作为传统几何法的补充，为考生答题提供新的工具． 【答题模板】 1．异面直线所成的角 （1）几何法：按定义作出异面直线所成的角(即找平行线)，解三角形． （2）向量法：设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)， 设l，m的夹角为，则cos θ＝eq \f(|a·b|,|a||b|)＝eq \f(|a1a2＋b1b2＋c1c2|,\r(a\o\al(2,1)＋b\o\al(2,1)＋c\o\al(2,1)) \r(a\o\al(2,2)＋b\o\al(2,2)＋c\o\al(2,2)))． 2．直线与平面所成的角 （1）几何法：按定义作出直线与平面所成的角（即找到斜线在平面内的投影），解三角形． （2）向量法：设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为μ＝(a2，b2，c2)， 设直线l与平面α的夹角为，则sin θ＝eq \f(|a·μ|,|a||μ|)＝|cos〈a，μ〉|． 3．二面角 （1）几何法：利用定义作出二面角的平面角，然后计算． （2）向量法：利用两平面的法向量．设平面α，β的法向量分别为μ＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)， 设二面角α-a-β的平面角为，则|cos θ|＝eq \f(|μ·v|,|μ||v|)＝|cos〈μ，v〉|． 【方法总结】 1．异面直线所成的角 （1）异面直线所成角的定义 如图,已知两异面直线a,b,经过空间任一点O,分别作直线a′∥a,b′∥b,相交直线a′，b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）． （2）异面直线所成角的范围 异面直线所成的角必须是锐角或直角，异面直线所成角的范围是． （3）两条异面直线垂直的定义如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直．两条互相垂直的异面直线a,b,记作a⊥b． （4）求异面直线所成的角的常见策略 ①求异面直线所成的角常用平移法．平移法有三种类型，利用图中已有的平行线平移，利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移，利用补形平移． ②求异面直线所成角的步骤 一作：即根据定义作平行线，作出异面直线所成的角； 二证：即证明作出的角是异面直线所成的角； 三求：解三角形，求出作出的角． 如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角． ③判定空间两条直线是异面直线的方法 判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线． 反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面． 2．直线与平面所成的角 （1）定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足． 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影． 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角． （2）规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角等于．因此，直线与平面所成的角α的范围是． （3）求直线与平面所成的角的方法 ①求直线和平面所成角的步骤：寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角． ②求线面角的技巧：在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，射影一般都是一些特殊的点，比如中心、垂心、重心等． 3．二面角 （1）二面角的定义：平面内的一条直线把平面分成