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     平面的性质 点在平面内: A 点在平面外: A 想一想: 两个平面能将空间分成几部分? 三个平面能将空间分成几部分? 三个平面能将空间分成几部分? 想一想: 两个平面能将空间分成几部分? 3 或 4 公理1: 如果一条直线上有两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 这时我们说直线在平面内,或者说平面经过直线. 公理2: 如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条经过这个点的公共直线. 记作: l   公理3: 经过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面. 记作:    =l 推论1: 经过一条直线和直线外的一点,有且只有一个平面. 证明: 设A是直线 a 外的一点, 在 a 上任取两点B , C 由公理3:A , B , C确定一个平面 B  ,C   所以由公理1, a  , 即平面经过直线a和点A 如果经过点A与直线a 还有另一个平面 那么B  ,C   不共线的三点A,B,C能确定两个不同的平面 , ,这与公理3矛盾. 所以推论1成立 推论2: 经过两条相交直线,有且只有一个平面. 证明: 设直线a与b的交点为A 在 b 上任一点B ( BA) 根据推论1:经过一条直线a和直线外的一点B,有一个平面 因为Aa 所以A 又B 所以根据公理1: b, 即平面经过直线a和直线b 如果经过直线a和直线b还有另一个平面 则B, a  这与推论1矛盾. 所以推论2成立 例1: 已知:Al, Bl , Cl, Dl, 求证:直线AD,BD,CD在同一平面内. 证明: ∵Dl, ∴ 点D与直线l可以确定平面 (推论1) ∵ Al ∴ A  又D   ∴AD平面 (公理1) 同理: BD平面 , CD平面 ∴直线AD,BD,CD在同一平面内 例2: 在长方体ABCD- A1 B1 C1 D1中,画出由D1 , C, A三点所确定的平面与长方体的表面的交线. 推论1: 经过一条直线和直线外的一点,有且只有一个平面. 证明: 设A是直线 a 外的一点, 在 a 上任取两点B , C 根据公理3:经过不在同一直线上的三点A , B , C有一个平面 因为点B,C都在平面内 所以根据公理1,直线a在平面内, 即平面经过直线a和点A 如果经过点A与直线a 还有另一个平面 那么B,C在平面内 这样经过不共线的三点A,B,C就有两个不同的平面 , ,这与公理3矛盾. 所以推论1成立 推论3: 经过两条平行直线,有且只有一个平面.