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1．圆的方程
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(1)圆的标准方程：(x－a) ＋(y－b) ＝r ，其中圆心是C(a，b)，半径长是r.特别地，圆心在
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原点的圆的标准方程为x ＋y ＝r .
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圆的一般方程：x ＋y ＋Dx＋Ey＋F＝0(D ＋E －4F>0)．
(2)由于圆的方程均含有三个参变量(a，b，r或D，E，F)，
而确定这三个参数必须有三个独立的条件，因此，三个独立的条件可以确定一个圆．
(3)求圆的方程常用待定系数法，此时要善于根据已知条件的特征来选择圆的方程．如果已
知圆心或半径长，或圆心到直线的距离，通常可用圆的标准方程；如果已知圆经过某些点，
通常可用圆的一般方程．
2．点与圆的位置关系
(1)点在圆上
①如果一个点的坐标满足圆的方程，那么该点在圆上．
②如果点到圆心的距离等于半径，那么点在圆上．
1
(2)点不在圆上
①若点的坐标满足F(x，y)>0，则该点在圆外；若满足
F(x，y)<0，则该点在圆内．
②点到圆心的距离大于半径则点在圆外；点到圆心的距离小于半径则点在圆内．
注意：若P点是圆C外一定点，则该点与圆上的点的最大距离：d ＝|PC|＋r；最小距离：
max
d ＝|PC|－r.
min
3．直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系有三种：相交、相离、相切，其判断方法有两种：代数法(通过解直线
方程与圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由圆心到直线的距离d与半
径长r的大小关系来判断)．
(1)当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为d＋r，最小距离为d－r，其中d为圆
心到直线的距离．
(2)当直线与圆相交时，圆的半径长、弦心距、弦长的一半构成直角三角形．
(3)当直线与圆相切时，经常涉及圆的切线．
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①若切线所过点(x ，y )在圆x ＋y ＝r 上，则切线方程为xx＋yy＝r ；若点(x ，y )在圆(x
0 0 0 0 0 0
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－a) ＋(y－b) ＝r 上，则切线方程为(x －a)(x－a)＋(y －b)(y－b)＝r .
0 0
②若切线所过点(x ，y )在圆外，则切线有两条．此时解题时若用到直线的斜率，则要注意
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斜率不存在的情况也可能符合题意．
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(4)过直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)与圆C：x ＋y ＋Dx＋Ey＋F＝0(D ＋E －4F>0)
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的交点的圆系方程是x ＋y ＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0，λ是待定的系数．
4．圆与圆的位置关系
两个不相等的圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含，其判断方法有两种：
代数法(通过解两圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由两圆的圆心距d
与半径长r，R 的大小关系来判断)．
(1)求相交两圆的弦长时，可先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用相交两圆的几何性
质和勾股定理来求弦长．
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(2)过圆C ：x ＋y ＋Dx＋Ey＋F ＝0与圆C ：x ＋y ＋Dx＋Ey＋F ＝0 的交点的直线方程
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为(D －D )x＋(E －E )y＋F －F ＝0.
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