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第 8 章 一些特殊的图 8.1 二部图 8.2 欧拉图 8.3 哈密尔顿图 8.4 平面图 二部图 一 . 二部图与完全二部图 1. 二部图 1 2 3 4 5 假设能将无向图 G=<V,E> 的顶点集 V 划分成两个子集 V 1 和 V 2 (V 1 ∩ V 2 = φ ), 使得 G 中任何一条边的两个端点一个属于 V 1 另一个属于 V 2 , 那么称 G 为二部图 ( 也称为偶图 ),V 1 ,V 2 称为 互补顶点子集 , 此时可将 G 记成 G=<V 1 ,V 2 ,E> 2. 完全二部图 ( 完全偶图 ) 假设 V 1 中任一顶点与 V 2 中每一个顶点均有且仅有一条边相关 联 , 那么称二部图 G 为完全二部图 . 假设 |V 1 |=n,|V 2 |=m, 那么记完全二部图 G 为 K n,m . 例如图 中 (1) 为 K 2,3 ,(2) 为 K 3,3 都是完全二部图 1 2 1 2 3 3 (1) 4 5 图 8.1 4 5 (2) 6 定理 ( 二部图判定定理 ) 一个无向图 G=<V,E> 是二部图当且仅当 G 中无奇数长度的回路 . 1 2 1 1 6 3 4 5 2 3 4 2 5 6 8 7 5 (1)K 4,4 (2)K 2,3 3 图 8.2 (3)K 3,3 4 二 . 匹配与匹配数 , 完备匹配与完美匹配 1. 匹配与匹配数 设 G=<V,E> 为无向图 ,E * ? E, 假设 E * 中任意两条边均不相邻 . 那么称 E * 为 G 中的匹配 ( 或边独立集 ). 假设在 E * 中再参加任何一条边就都不是匹配了 , 那么称 E * 为极 大匹配 . 边数最多的极大匹配称为最大匹配 , 最大匹配中 的元素 ( 边 ) 的个数 , 称为 G 的匹配数 , 记为 β 1 (G) 或 β 1 2. 完美匹配 设 M 为 G=<V,E> 中一个匹配 , 任意的 v ∈ V(G), 假设存在 e ∈ M, 使得 e 与 v 关联 , 那么称 v 为 M 的饱和点 , 否那么称 v 为 M 的非饱和点 . 假设 G 中每个顶点都是 M 饱和点 , 那么称 M 为 G 中完美匹配 . e1 V1 e2 V2 e3 V3 e6 e5 V5 e7 (1) 图 8.3 (2) e4 V4 e6 V1 e1 V2 e2 e7 V6 e5 V5 e4 V4 V3 e3 图 (1) 中 } 等都 是图中的匹配 ,e6} 是极 大匹配 ,e6} 是最大匹配 , 匹 配数为 2. 图中不存在完美匹配 . 图 (2) 中 ,e7,e4} 都是极大匹配 , 也是最大匹配 , 同时也是完美匹配 , 匹配数为 3. 3. 完备匹配 设 G=<V1,V2,E> 为一个二部图 ,M 为 G 中一个最大匹配 , 假设 |M|=min{|V1|,|V2|}, 那么称 M 为 G 中的一个完备匹配 . 此时假设|V1|≤|V2|,那么称 M 为 V1 到 V2 的一个完备匹配 . 假设 |V1|=|V2|, 那么称 M 为 G 中的完美匹配 . V1 V2 e2 e1 e2 e3 e1 e2 V3 V1 V2 V3 V1 V2 V3 e1 e3 V4 V5 (1)G1 V6 V4 V5 (2)G2 V6 V7 V4 V5 (3)G3 V6 图 8.4 {e1,e2} 为 G1 中的最大匹配 ,{e1,e2,e3} 为 G2 中的一个完备匹配 . {e1,e2,e3} 为 G3 中的完备匹配 , 同时也是完美匹配 . 定理 (Hall 定理 - 相异性条件 ) 设二部图G=<V1,V2,E>,|V1|≤|V2|,G中存在从 V1 到 V2 的 完备匹配当且仅当 V1 中任意 k 个顶点 (k=1,2, … ,|V1|) 至 少邻接 V2 中的 k 个顶点 . 定理 (t 条件 ) 设二部图 G=<V1,V2,E>, 如果 (1)V1 中每个顶点至少关联 t(t>0) 条边 . (2)V2 中每个顶点至多关联 t 条边 . 那么 G 中存在 V1 到 V2 的完备匹配 . 例 某中学有 3 个课外小组 : 物理组 , 化学组 , 生物组 . 今有张 , 王 , 李 , 赵 , 陈 5 名同学 , 假设 : (1) 张 , 王为物理组成员 ; 张 ,