角平分线的性质定理及其逆定理.doc

角平分线的性质定理及其逆定理 -、 基础概念 学习目标：掌握角平分线的性质定理及其逆定理的证明和简单应用，掌握尺规作图做角平分线，规范 证明步骤。 （1）角平分线的性质定理证明： 角平分线的性质定理： 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 证明角平分线的性质定理时，将用到三角形全等的判定公理的推论： 推论：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。 （AAS） 推导过程： 已知：0C平分/ MON , P是0C上任意一点，PA丄OM , PB丄ON , 垂足分别为点A、点B. 求证：PA = PB. M M 证明：??? PA丄 OM , PB丄 ON ???/ PAO = Z PBO= 90 ° ?/ OC 平分/ MON ???/ 1 = Z 2 在厶PAO和厶PBO中， PAOPBO ? PA= PB ②几何表达:（角的平分线上的点到角的两边的距离相等） ②几何表达: （角的平分线上的点到角的两边的距离相等） 如图所示，??? OP 平分/ MON (/ 1 = Z 2), PA 丄 OM , PB 丄 ON , ? PA= PB. 角平分线性质定理的逆定理 到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 推导过程 已知：点 P是/ MON内一点，PA丄OM于A, PB丄ON于B,且PA= PB. 求证：点P在/ MON的平分线上. 证明：连结0P 在 RtA PAO 和 RtA PBO 中， ??? RtA PAOB RtA PBO ( HL) ???/ 1 = Z 2 ? OP 平分/ MON 即点P在/ MON的平分线上. 几何表达：(到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. ) 如图所示，??? PA丄 OM , PB丄 ON , PA= PB ???/ 1 = Z 2 (OP 平分/ MON ) 角平分线性质及判定的应用 为推导线段相等、角相等提供依据和思路； 实际生活中的应用. 例：一个工厂，在公路西侧，至U公路的距离与到河岸的距离相等，并且到河上公路桥头的距离为 米?在下图中标出工厂的位置，并说明理由. （4）角平分线的尺规作图 活动三：观察与思考： 尺规作角的平分线 观察下面用尺规作角的平分线的步骤（如图），思考这种作法的依据。 步骤一：以点0为圆心，以适当长为半径画弧，弧与角的两边分别交 于A，B两点。 由作图可知： 0A = 0B 步骤二：分别以点A ,B为圆心，以固定长（大于AB长的一半）为半 径画弧，两弧交于点C。 由作图可知: AC BC 步骤三：作射线由作图可知： 0C,贝U 0C就是/ AOB的平分线。 定理，可得 刍 同学们，讨论交流一下，你能说出作图的每一步骤的依据是什么吗？试用证明的方法说 出作图的正确性。 二、【典型例题】 例1.已知：如图所示，/ C=/C=90°,AC = AC 求证：（1）Z ABC=Z ABC; （2） BC= BC（要求：不用三角形全等判定）. 例2.如图所示，已知△ ABC中，PE// AB交BC于E，PF// AC交BC于F, P是AD上一点, 且D点到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分/ BAC，并说明理由. A 例3.如图所示，已知△ ABC的角平分线BM, CN相交于点P,那么AP能否平分/ BAC? 请说明理由?由此题你能得到一个什么结论？ 例4.如图所示的是互相垂直的一条公路与铁路， 学校位于公路与铁路所夹角的平分线上的 P 点处，距公路400m，现分别以公路、铁路所在直线为 x轴、y轴建立平面直角坐标系. (1)学校距铁路的距离是多少？ (2 )请写出学校所在位置的坐标. 例5.如图所示，在△ ABC中，/ C= 90°,AC= BC，DA平分/ CAB交BC于D，问能否在 AB上确定一点丘，使厶BDE的周长等于AB的长？若能，请作出点E,并给出证明；若不能， 请说明理由. 练习一 一、填空题： 1?如图1-31，△ ABC中，AD是BC的垂直平分线， BE平分/ ABC交AD于E, EF丄AB ,则 AB = ，BF= ; 2?已知：如图 1-32，在 RtAABC 中，/ C = 90 ° AC = BC BD平分/ ABC交 AC 于 D, DE丄 AB于E,若BC= 5,则厶DEC的周长为 C图 1-31 C 图 1-31 二、选择题：如图 1-33 , △ ABC 二、选择题： 如图 1-33 , △ ABC 中，/ B = 42 ° AD丄 BC于 D, E是 BD 上一点，EF丄 AB于 F,若 ED = EF则/ AEC的度数为（ ）； A. 60 ° B. 62 ° C. 64° D. 66 给出下列命题： ① ② ③ ④ 垂直于同一条直线的两直线平行； 角平分线上的点到角两边的距离相等;