角平分线模型运用.docx

角平分线模型运用 角平分线模型运用 角平分线 ⑴定义：如图2-1,如果Z AOB =Z BOC ,那么Z A0C=2 ZA0B=2 Z BOC，像OB这样，从一个角的顶点 出发，把这个角分 成相等的两个角的射线，叫作这个角的角平分线. 图2-1 图2-1 (2)角平分线的性质定理 如果一条射线是一个角的平分线，那么它把这个角分成两个相等的角 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等? (3)角平分线的判定定理 ①在角的内部，如果一条射线的端点与角的顶点重合，且把一个角分成两个等角，那么这条射 线是这个角的 平分线，②在角的内部，到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上 ，与角平分线有关的常用辅助 线作法，即角平分线的四大基本模型，已知P是ZMON平分线上一点， ⑴若PA丄OM于点A,如图2-2(a),可以过P点作PB丄ON于点B,则PB二PA.可记为“图中有角平分线，可 向两边作垂 线” ? OPA.(2)若点A是射线mDM上任意一点，如图2-2(bM,可以在ON上截取0B二OA ,连接PB,构造△ OPB 可记为“图中有角平分线，可以将图对折看，对称以后关系现” ？ OPA. ⑶若AP ±OP于点P,如图2-2(c)，可以延长AP交ON于点B,构造△ AOB是等腰三角形，P是底边AB的中点，可记为“角 平分线加垂线，三线合一试试看” ？ ⑷ 若过P点作PQ/7ON交0M于点Q,如图2-2(d)，可以构造△ POQ是等腰三角形，可记为“角平分线十 平行线，等腰三角形必呈现” ？ 例 1 (b) (1)如图 2-3(a),在厶 ABC 中，Z C=90o , AD 平分 Z CAB , BC=6cm , BD=4cm ,那么点 D 图 2? 3 ( a) (2)如图 2-3(b)，已知：Z 1 = Z2, Z 3=Z 4,求证：AP 平分 Z BAC? 例2 垂足为 D. AF 平分 Z CAB ,如图 2-4(a), Rt AABC 中，Z ACB=90 ° , CD 丄 AB ,交CD于点E,交CB于点F ⑴求证：CE= CF? C 图 2-4 (a) ⑵将图2-4(a)中的△ ADE沿AB向右平移到△AP, E,的位置，使点E,落在BC边上， 其它条件不变，如图2-4(b)所示.试猜想：BE，与CF有怎样的数量关系？ 请证明你的结 论. A D A D 图 2-4 (b ) 例3 阅读下列学习材料： 如图2-5(a)所示，0P平分Z MON , A为0M上一点，C为0P上一点，连接 AC ,在射线 ON 上截取 0B 二 0A,连接 BC(如图 2? 5(b)),易证△ AOC A BOC. BN 请根据上面的学习材料，解答下列各题: ⑴如图2? 5(c)所示，在△ ABC中，AD是ABAC的外角平分线，P是AD上异于 点A 的任意一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由? (2)如图 2? 5 ( d)AB D C (2) 如 图 2? 5 ( d) A B D C BD 平 图 2? 6 ( a) ⑴如图2-7(a), BD、CE分别是△ ABC的外角平分线，过点 A作AD上BD、AE丄CE , 垂足分别为D、E,连接DE. 1 求证：DE 〃BC , DE=-(AB+BC+AC)； A B C 图 2-7 (a) (2)如图2-7(b), BD、CE分别是△ ABC的内角平分线，其它条件不变 A ? 2-7 ( b) (3)如图2-7(c), BD为厶ABC的内角平分线，CE为厶ABC的外角平分线，其它 条件不 则在图2? 7(b)、图2-7(c)两种情况下，DE与BC还平行吗？它与△ ABC三边又有 怎样 的数量关系？请写出你的猜测，并对其中的一种情况进行证明。 图 2-7 ( c)