任意角和弧度制及任意角的三角函数、基本关系与诱导公式..docx

任意角和弧度制及任意角的三角函数 【知识清单】 知识点1.象限角及终边相同的角 1.（1）任意角的分类： ①按旋转方向不同分为正角?负角?零角. ②按终边位置不同分为象限角和轴线角. （2）终边相同的角： 终边与角α相同的角可写成α+k·360°(k∈Z). 2.弧度制： ①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. ②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|=，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径. ③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制.比值与所取的r的大小无关，仅与角的大小有关. 3.弧度与角度的换算：360°=2π弧度；180°=π弧度. 若一个角的弧度数为α，角度数为n，则αrad=()°，n°=n·rad. 知识点2.三角函数的定义 1.任意角的三角函数定义： 设α是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么 （1）点P的纵坐标叫角α的正弦函数，记作sinα=y； （2）点P的横坐标叫角α的余弦函数，记作cosα=x； （3）点P的纵坐标与横坐标之比叫角α的正切函数，记作tanα=.它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数. 将正弦函数?余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：正弦函数y=sinx，x∈R；余弦函数y=cosx，x∈R；正切函数y=tanx，x≠+kπ(k∈Z). 2.三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正?二正弦?三正切?四余弦 知识点3.扇形的弧长及面积公式 （1）弧长公式 在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角大小为α，则|α|=，变形可得l=|α|r，此公式称为弧长公式，其中α的单位是弧度. （2）扇形面积公式 由圆心角为1rad的扇形面积为=r2，而弧长为l的扇形的圆心角大小为rad，故其面积为S=×=lr，将l=|α|r代入上式可得S=lr=|α|r2，此公式称为扇形面积公式. （3）弧长公式及扇形面积公式的两种表示 名称 角度制 弧度制 弧长公式 l= l=|α|r 扇形面积公式 S= S=r2=lr 注意事项 r是扇形的半径，n是圆心角的角度数 r是扇形的半径，α是圆心角的弧度数，l是弧长 【典例剖析】 高频考点一象限角及终边相同的角 【典例1】(2019·乐陵市第一中学高三专题练习)如果，那么与终边相同的角可以表示为（ ） A. B. C. D. 规律方法】 象限角的两种判断方法 （1）图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角. （2）转化法：先将已知角化为k·360°+α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角. 【变式探究】 1. 若角是第二象限角，试确定的终边所在位置． 【总结提升】 象限角与轴线角(终边在坐标轴上的角)的集合表示 （1）象限角： 象限角 集合表示 第一象限角 {α|k·360°<α<k·360°+90°，k∈Z} 第二象限角 {α|k·360°+90°<α<k·360°+180°，k∈Z} 第三象限角 {α|k·360°+180°<α<k·360°+270°，k∈Z} 第四象限角 {α|k·360°+270°<α<k·360°+360°，k∈Z} （2）轴线角： 角的终边的位置 集合表示 终边落在x轴的非负半轴上 {α|α=k·360°，k∈Z} 终边落在x轴的非正半轴上 {α|α=k·360°+180°，k∈Z} 终边落在y轴的非负半轴上 {α|α=k·360°+90°，k∈Z} 终边落在y轴的非正半轴上 {α|α=k·360°+270°，k∈Z} 终边落在y轴上 {α|α=k·180°+90°，k∈Z} 终边落在x轴上 {α|α=k·180°，k∈Z} 终边落在坐标轴上 {α|α=k·90°，k∈Z} 高频考点二三角函数的定义 【典例2】已知角的终边过点，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【典例3】已知角的终边落在直线y=2x上，求sinα?cosα?tanα的值. 【典例4】已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若是角终边上一点，且，则y=_______. 【规律方法】 1.已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后利用三角函数的定义求解. 2.已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解相关的问题.若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角α的三角函数值. 【变式探究】 (浙江省嘉兴市第一中学期中) 2. 已知角的终边与单位圆交于点，则