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对气体等温气压公式的修正

魏国柱，顾永伟，杜安

在大学物理和一些热学教材中，都给出了气体等温气压公式，其推导步骤如下：

设和分别是离地面高度和地面处的气体分子数密度，是气体分子的摩尔质量，是重力加速度，是气体常数，是绝对温度，则气体分子在重力场中按高度的分布公式是

，（1）

再利用理想气体状态方程

，（2）

其中是玻尔兹曼常数，和等温平衡过程方程

，（3）

得到气体等温气压公式

.（4）

式（4）表明，在温度均匀情形下，大气压强随高度增加按指数衰减.

由式（4）可得

.（5）

由于实际上大气的温度是随离地面的高度而变化的，因此在爬山和航空中，由式（5）根据所测定的大气压强随高度的变化来计算上升的高度时，得到的只是近似结果.为了得到比较接近实际的结果，必须把式（4）和式（5）进行修正.在热力学中，表示实际过程中理想气体的压强和体积关系的是多方过程.显然,考虑到大气温度随高度的变化，当同样把大气作为理想气体，用多方平衡过程方程取代等温平衡过程方程，推导出相应的气压公式会比较接近实际.

1气体多方平衡过程的气压公式的推导

X0Zz

X

0

Z

z+dz

z

P

P+dP

Y

dz

，（6）

图1沿z方向隔离的圆柱形体积微元.其中是圆柱形体积微元的底面积，是离地面高度处的气体密度，是在高度和处之间的压强差.

图1沿z方向隔离的圆柱形体积微元.

容易得到

.（7）

理想气体的多方平衡过程方程是

，（8）

其中是多方指数，显然当时对应的是等温平衡过程.

对一定质量的气体，体积和密度成反比，多方平衡过程方程可改写为

.（9）

式（8）和式（9）中的和是常数.如果大气在地面0的密度为，压强为，在高度为时的密度为，压强为，则有：

，（10）

得

.（11）

把式（11）代入式（7）得

.（12）

完成自地面0到离地面的高度的积分有

，（13）

整理后得

，（14）

其中是地面0处的绝对温度.在得到式（14）时我们用到了理想气体的状态方程式（2）.由此得到气体多方过程的气压公式：

.（15）

有意思的是，若令

，（16）

则式（15）可写成

，（17）

当1，即等温平衡过程，0，利用

，

有

,

得到的正是气体等温气压公式（4）.这表明用多方平衡过程来取代等温平衡过程推导出的气压公式，是对气体等温气压公式的一种很好修正.

）