专题六　第4讲　母题突破1　范围、最值问题.docx

第4讲圆锥曲线的综合问题

[考情分析]1.圆锥曲线的综合问题是高考考查的重点内容，常见的热点题型有范围、最值问题，定点、定直线、定值问题及探索性问题.2.以解答题的形式压轴出现，难度较大．

母题突破1范围、最值问题

母题(2023·全国甲卷)已知直线x－2y＋1＝0与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于A，B两点，|AB|＝4eq\r(15).

(1)求p；

(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，eq\o(FM,\s\up6(→))·eq\o(FN,\s\up6(→))＝0，求△MFN面积的最小值．

思路分析

?联立方程利用弦长求p

?设直线MN：x＝my＋n和点M，N的坐标

?利用eq\o(FM,\s\up6(→))·eq\o(FN,\s\up6(→))＝0，得m，n的关系

?写出S△MFN的面积

?利用函数性质求S△MFN面积的最小值

解(1)设A(xA，yA)，B(xB，yB)，

由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋1＝0，,y2＝2px，))可得y2－4py＋2p＝0，

所以yA＋yB＝4p，yAyB＝2p，

所以|AB|＝eq\r(5)×eq\r(?yA＋yB?2－4yAyB)＝4eq\r(15)，

即2p2－p－6＝0，解得p＝2(负值舍去)．

(2)由(1)知y2＝4x，

所以焦点F(1,0)，显然直线MN的斜率不可能为零，

设直线MN：x＝my＋n，M(x1，y1)，N(x2，y2)，

由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,x＝my＋n，))

可得y2－4my－4n＝0，

所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n，

Δ＝16m2＋16n>0?m2＋n>0，

因为eq\o(FM,\s\up6(→))·eq\o(FN,\s\up6(→))＝0，eq\o(FM,\s\up6(→))＝(x1－1，y1)，

eq\o(FN,\s\up6(→))＝(x2－1，y2)，

所以(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0，

即(my1＋n－1)(my2＋n－1)＋y1y2＝0，

即(m2＋1)y1y2＋m(n－1)(y1＋y2)＋(n－1)2＝0，

将y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n代入得，

4m2＝n2－6n＋1，

所以4(m2＋n)＝(n－1)2>0，

所以n≠1，且n2－6n＋1≥0，

解得n≥3＋2eq\r(2)或n≤3－2eq\r(2).

设点F到直线MN的距离为d，

所以d＝eq\f(|n－1|,\r(1＋m2))，

|MN|＝eq\r(1＋m2)eq\r(?y1＋y2?2－4y1y2)

＝eq\r(1＋m2)eq\r(16m2＋16n)

＝eq\r(1＋m2)eq\r(4?n2－6n＋1?＋16n)

＝2eq\r(1＋m2)|n－1|，

所以△MFN的面积

S＝eq\f(1,2)×|MN|×d＝eq\f(1,2)×2eq\r(1＋m2)|n－1|×eq\f(|n－1|,\r(1＋m2))＝(n－1)2，

而n≥3＋2eq\r(2)或n≤3－2eq\r(2)，

所以当n＝3－2eq\r(2)时，△MFN的面积最小，为Smin＝(2－2eq\r(2))2＝12－8eq\r(2)＝4(3－2eq\r(2))．

[子题1]F1，F2分别是椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1的左、右焦点．设A(2,0)，B(0,1)是它的两个顶点，直线y＝kx(k>0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点．求四边形AEBF面积的最大值．

解设E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，x1<x2，k>0，

联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx，,\f(x2,4)＋y2＝1，))消去y并整理得(1＋4k2)x2＝4，

解得x1＝－eq\f(2,\r(4k2＋1))，x2＝eq\f(2,\r(4k2＋1))，

∵A(2,0)，B(0,1)，

∴直线AB的方程为x＋2y－2＝0，

根据点到直线的距离公式可知，点E，F到直线AB的距离分别为

h1＝eq\f(|x1＋2kx1－2|,\r(5))＝eq\f(2?1＋2k＋\r(1＋4k2)?,\r(5?1＋4k2?))，

h2＝eq\f(|x2＋2kx2－2|,\r(5))＝eq\f(2?1＋2k－\r(1＋4k2)?,\r(5?1＋4k2?))，

∴h1＋h2＝eq\f(4?1＋2k?,\r(5?1＋4k2?))，

又|AB|＝eq\r(22＋1)＝eq\r(5)，

∴四边形AEBF的面积为S＝eq\f(1,2)|AB|(h1＋h2)＝eq\f(1,2)×eq\r(5)×eq\f(4?1＋2