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江苏省江阴市暨阳中学2024届高三一诊考试数学试卷
注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知实数,,函数在上单调递增,则实数的取值范围是()
A. B. C. D.
2.过双曲线左焦点的直线交的左支于两点,直线(是坐标原点)交的右支于点,若,且,则的离心率是()
A. B. C. D.
3.复数满足为虚数单位),则的虚部为()
A. B. C. D.
4.在平面直角坐标系中,若不等式组所表示的平面区域内存在点,使不等式成立,则实数的取值范围为()
A. B. C. D.
5.已知函数,将函数的图象向左平移个单位长度,得到函数的图象,若函数的图象的一条对称轴是,则的最小值为
A. B. C. D.
6.已知实数,满足约束条件,则目标函数的最小值为
A. B.
C. D.
7.已知函数,,当时,不等式恒成立,则实数a的取值范围为()
A. B. C. D.
8.在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.若,的面积为,则()
A.5 B. C.4 D.16
9.计算等于()
A. B. C. D.
10.函数的图象向右平移个单位得到函数的图象,并且函数在区间上单调递增,在区间上单调递减,则实数的值为()
A. B. C.2 D.
11.设是虚数单位,若复数,则()
A. B. C. D.
12.若集合,则=()
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且,则________.
14.已知数列是等比数列,,则__________.
15.已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=kx有两个不同的实根,则实数k的取值范围是________.
16.假设10公里长跑,甲跑出优秀的概率为,乙跑出优秀的概率为,丙跑出优秀的概率为,则甲、乙、丙三人同时参加10公里长跑,刚好有2人跑出优秀的概率为________.
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)选修4-5:不等式选讲
已知函数.
(1)设,求不等式的解集;
(2)已知,且的最小值等于,求实数的值.
18.(12分)已知函数.
(1)若是函数的极值点,求的单调区间;
(2)当时,证明:
19.(12分)已知椭圆的离心率为,且以原点O为圆心,椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线相切.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知动直线l过右焦点F,且与椭圆C交于A、B两点,已知Q点坐标为,求的值.
20.(12分)已知函数.
(1)讨论的单调性并指出相应单调区间;
(2)若,设是函数的两个极值点,若,且恒成立,求实数k的取值范围.
21.(12分)已知数列满足,且,,成等比数列.
(1)求证:数列是等差数列,并求数列的通项公式;
(2)记数列的前n项和为,,求数列的前n项和.
22.(10分)设函数,是函数的导数.
(1)若,证明在区间上没有零点;
(2)在上恒成立,求的取值范围.
参考答案
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、D
【解析】
根据题意,对于函数分2段分析:当,由指数函数的性质分析可得①,当,由导数与函数单调性的关系可得,在上恒成立,变形可得②,再结合函数的单调性,分析可得③,联立三个式子,分析可得答案.
【详解】
解:根据题意,函数在上单调递增,
当,若为增函数,则①,
当,
若为增函数,必有在上恒成立,
变形可得:,
又由,可得在上单调递减,则,
若在上恒成立,则有②,
若函数在上单调递增,左边一段函数的最大值不能大于右边一段函数的最小值,
则需有,③
联立①②③可得:.
故选:D.
【点睛】
本题考查函数单调性的性质以及应用,注意分段函数单调性的性质.
2、D
【解析】
如图,设双曲线的右焦点为,连接并延长交右支于,连接,设,利用双曲线的几何性质可以得到,,结合、可求离心率.
【详解】
如图,设双曲线的右焦点为,连接,连接并延长交右支于.
因为,故四边形为平行四边形,故.
又双曲线为中心对称图形,故.
设,则,故,故.
因为为直角三角形,故,解得.
在中,
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