第二编 专题五 小题专讲 第1讲.DOC

第1讲排列、组合、二项式定理

「考情研析」1.高考中主要考查两个计数原理、排列、组合的简单应用，有时会与概率相结合，以选择题、填空题为主．2.二项式定理主要考查通项、二项式系数等知识．

1．知识串联

2．结论记忆

(1)排列、组合问题五个常用公式

①Aeq\o\al(m,n)＝nAeq\o\al(m－1,n－1)；

②(n＋1)！－n！＝eq\o(□,\s\up3(01))n·n！；

③kCeq\o\al(k,n)＝nCeq\o\al(k－1,n－1)；

④Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝eq\o(□,\s\up3(02))2n；

⑤Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝eq\o(□,\s\up3(03))2n－1．

(2)当n为偶数时，二项式系数的最大值为eq\o(□,\s\up3(04))Ceq\o\al(eq\s\up15(eq\f(n,2)),n)；

当n为奇数时，二项式系数的最大值为eq\o(□,\s\up3(05))Ceq\o\al(eq\s\up15(eq\f(n－1,2)),n)＝eq\o(□,\s\up3(06))Ceq\o\al(eq\s\up15(eq\f(n+1,2)),n)．

考向1两个计数原理

例1(1)(2022·信阳模拟)中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有()

A．30种 B．50种

C．60种 D．90种

答案B

解析①甲同学选择牛，乙有2种，丙有10种，选法有1×2×10＝20种；②甲同学选择马，乙有3种，丙有10种，选法有1×3×10＝30种，所以选法总共有20＋30＝50种．故选B.

(2)(2022·东北三省三校四模)在法国启蒙思想家狄德罗所著的《论盲人书简》一书中，向读者介绍了英国的盲人数学家桑德森发明的几何学研究盘，如图所示，它是在刻着田字格的板上钉钉子，钉子钉在田字格的9个格点处，只要用手触摸钉子的位置和大小，就可以进行结构的研究．假设钉子有大、小两种，在田字格上至少有一个钉子、至多有两个钉子，且田字格的中心必须有一个钉子．如果钉子的不同排法代表不同的几何结构，那么按照这样的规则，共可以研究________种不同的几何结构(用数字作答).

答案34

解析第一类：若只有一个钉子，此钉子只能钉在田字格中心，可以有大、小钉两种，共有2种不同的几何结构；第二类：若田字格上钉两个钉子，第一步：中心处钉一个钉子，有大、小钉两种可能，第二步：在其余8个位置选择一个位置钉钉子，此位置有大、小钉两种选择，所以此类情况共有2×8×2＝32种不同的几何结构．共有2＋32＝34种不同的几何结构．

应用两个计数原理解题的方法

(1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又有可能用到分类加法计数原理．

(2)对于复杂的两个计数原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化．

1．四色定理(Fourcolortheorem)又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一．它是于1852年由毕业于伦敦大学的格斯里(FrancisGuthrie)提出来的，其内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色”．四色问题的证明进程缓慢，直到1976年，美国数学家运用电子计算机证明了四色定理．某校数学兴趣小组在研究给四棱锥P－ABCD的各个面涂颜色时，提出如下的“四色问题”：要求相邻面(含公共棱的平面)不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，那么不同的涂法有()

A．36种 B．72种

C．48种 D．24种

答案B

解析如图所示，底面ABCD的涂色有4种选择，侧面PAB有3种选择，侧面PBC有2种选择．①若侧面PCD与侧面PAB所涂颜色相同，则侧面PAD有2种选择；②若侧面PCD与侧面PAB所涂颜色不同，则侧面PCD有1种选择，侧面PAD有1种选择．综上所述，不同的涂法有4×3×2×(1×2＋1×1)＝72种．故选B.

2．(2022·厦门模拟)为提升市民的艺术修养，丰富精神文化生活，市图书馆开设了工艺、绘画